Рекурентни отношения

[merili]

Може ли малко помощ

Да се намери рекурентното отношение, чието решение е:
[tex] 2(1.2)^{n} -3n(1.2)^{n} [/tex]

[Реклама]

[asdf]

от това, че имаш 2 пъти (1,2)^n и n пред второто 1,2 следва, че 1,2 е двоен корен на характеристичното уравнение. От тук излиза, че самото характеристично уравнение е (x-1,2)^2 = x^2-2,4x+1,44, откъде ти идва и рекурентната зависимост: [tex]a_n=2,4a_{n-1}+1,44a_{n-2}[/tex]

[merili]

Ок, мерси

[bmw530i]

Искам да попитам как се определя, че едно рекурентно отношение например:
Fn= Fn-1 + Fn-2 е от втори ред? Считайте, че n, n-1, n-2 са долни индекси, защото не мога да се оправя с този LaTeX...

[mkmarinov]

[tex]aF_{n+2}+bF_{n+1}+cF_n=0[/tex] - втори ред.
Редът ти е разликата между най-високият и най-ниският индекс.
Т.е. ако имаш и [tex]F_{n+3}[/tex] в горното, то става от трети ред и т.н.

[bmw530i]

Ооо колко просто било.... благодаря за помощта!

[bmw530i]

Ще съм много благодарна, ако някой реши тази задача и ми я обясни...

За редицата от суми
S₁, S₂ , …, S_i , … където
S_i = 1.2¹ + 2.2² + 3.2³ + …+ i.2ⁱ + (i+1).2ⁱ⁺¹
а) дефинирайте съответното рекурентно отношение и намерете формула за общия член Sn ;
б) докажете верността на получената формула чрез метода на математическата индукция.

[nikko1]

Първи начин:
Пресмяташ
[tex]S_n=1.2^1+2.2^2+\dots+(n-1)2^{n-1}+n.2^n+(n+1).2^{n+1}[/tex] и
[tex]S_{n-1}=1.2^1+2.2^2+\dots+(n-1)2^{n-1}+n.2^n[/tex], ако извадим от S_n, S_{n-1}, умножено с 2, то получаваме
[tex]S_n-2S_{n-1}=2^{n+1}(n+1-n)+2^{n}(n-n+1)+2^{n-1}(n-1-n+2)+\dots+2^2(2-1)+2^1=2^{n+1}+2^n+\dots+2^2+2^1=2.\sum\limits_{k=0}^n{2^k}=2\frac{2^{n+1}-1}{2-1}=2^{n+2}-2[/tex]
Значи имаш рекурентното отношение [tex]S_n-2S_{n-1}=2^{n+2}-2[/tex]
Сега да направим предположение
[tex]S_1=10=2^3+2=1.2^3+2,[/tex]
[tex]S_2=2.S_1+2^4-2=34=2^5+2=2.2^4+2[/tex]
[tex]S_3= 2.S_2+2^5-2=68+32-2=98=3.2^5+2[/tex]
[tex]S_4=2.98+64-2=258=2^8+2=4.2^6+2[/tex] и логично предполагаме [tex]\color{red}S_n=n.2^{n+2}+2[/tex]
За теб остава да докажеш с метода на математическата индукция, че това е общия вид, като използваш вече доказаното рекурентно уравнение [tex]S_n-2S_{n-1}=2^{n+2}-2[/tex]

Втори начин:
Получихме [tex](*)\ S_n-2S_{n-1}=2^{n+2}-2[/tex]
освен това от общия вид очевидно S_n се отличава само с едно събираемо от S_{n-1} или имаме [tex](**)\ S_n=S_{n-1}+(n+1)2^{n+1}[/tex]
(*)-(**) и имаш [tex]-S_{n-1}+(n+1)2^{n+1}-2^{n-2}+2=0[/tex]
или [tex]S_{n-1}=(n+1)2^{n+1}-2^{n+2}+2=2^{n+1}(n+1-2)+2=(n-1)2^{n+1}+2[/tex] или
[tex]S_n=n.2^{n+2}+2[/tex] и така дори не е нужна индукция.