Граница от корен n-ти

[Manwe]

Ето една интересна граница: [tex]\lim_{n\to\infty }\sqrt[n]{a^{n}+b^{n}+c^{n}}=max(a,b,c)[/tex]

Трябва да се докаже, че въпросното нещо клони към най-голямото от a,b или c, като a,b,c>0. Аз го докарах до [tex]\lim_{n\to\infty }abc\sqrt[n]{\frac{1}{b^{n}c^{n}}+\frac{1}{a^{n}c^{n}}+\frac{1}{a^{n}b^{n}}}[/tex] и дотам. Някакви идеи? Задачата ми трябва за сряда.

[Реклама]

[naitsirk]

[Manwe]

Значи ето каква е идеята:

Да приемем, че:

[tex] \sqrt[n]{max(a,b,c)^{n}} \le \sqrt[n]{a^{n}+b^{n}+c^{n}} \le \sqrt[n]{3max(a,b,c)^{n}} [/tex]

[tex] \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{max(a,b,c)^{n}} \le \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a^{n}+b^{n}+c^{n}} \le \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{3max(a,b,c)^{n}} [/tex]

[tex] max(a,b,c)\le \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a^{n}+b^{n}+c^{n}} \le \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{3} \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{max(a,b,c)^{n}}[/tex]

И оттам се получава че лимесът от корена е <= и >= на max(a,b,c). Условието беше да се докаже че границата е max(a,b,c) Доколкото разбрах 3-ката се вмъква тъй като приемаме, че границата наистина ни е тази в задачата, следователно коренището ще е по-малко от корен от 3те максимума. Ама нещо самото предположение не ми е ясно. Можем ли наистина да допуснем това в 1вия ред, че коренът е по-малък от 3*максимума под корен? Защо пък и това отдясно да не е по-малко от [tex] \sqrt[n]{a^{n}+b^{n}+c^{n}}[/tex]?

[pipi langstrump]

naitsirk ти го е казал ясно - изкарваш члена с най-голяма основа извън корена и използваш следната граница:

[tex]\lim_{n\to\infty } \sqrt[n]{a_{n}} = 1[/tex] при положение, че [tex] \lim_{n\to\infty} a_n[/tex] е крайно число > 0

Примерно ако имаш

[tex]\lim_{n\to\infty } \sqrt[n]{2^n + 3^n + 4^n}[/tex] правиш

[tex]\lim_{n\to\infty } \sqrt[n]{2^n + 3^n + 4^n} = \sqrt[n]{4^n \left(\left(\frac{2}{4}\right)^n + \left(\frac{3}{4}\right)^n + 1 \right)} = 4\lim_{n\to\infty }\sqrt[n]{ \left(\frac{2}{4}\right)^n + \left(\frac{3}{4}\right)^n + 1} [/tex]

Сега това под корена клони към 1 - по-голямо от нула и по-малко от безкрайност, значи отговора е 4.

Също е очевидно, че броят на събираемите е без значение за крайния резултат.

[mathinvalidnik]

[naitsirk]

в задачата е казано, че числата са положителни, т.е. можем и без модула да минем