Регистрирайте сеРегистрирайте се

Граница от корен n-ти


 
   Форум за математика Форуми -> Граници на редици и функции
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
Manwe
Начинаещ


Регистриран на: 16 Nov 2009
Мнения: 8


МнениеПуснато на: Mon Nov 16, 2009 1:19 am    Заглавие: Граница от корен n-ти

Ето една интересна граница: [tex]\lim_{n\to\infty }\sqrt[n]{a^{n}+b^{n}+c^{n}}=max(a,b,c)[/tex]

Трябва да се докаже, че въпросното нещо клони към най-голямото от a,b или c, като a,b,c>0. Аз го докарах до [tex]\lim_{n\to\infty }abc\sqrt[n]{\frac{1}{b^{n}c^{n}}+\frac{1}{a^{n}c^{n}}+\frac{1}{a^{n}b^{n}}}[/tex] и дотам. Някакви идеи? Задачата ми трябва за сряда.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
naitsirk
Напреднал


Регистриран на: 03 Jul 2008
Мнения: 295
Местожителство: Казанлък
Репутация: 57.7
гласове: 34

МнениеПуснато на: Mon Nov 16, 2009 8:12 am    Заглавие: Re: Граница от корен n-ти

Manwe написа:
Ето една интересна граница: [tex]\lim_{n\to\infty }\sqrt[n]{a^{n}+b^{n}+c^{n}}=max(a,b,c)[/tex]

Трябва да се докаже, че въпросното нещо клони към най-голямото от a,b или c, като a,b,c>0. Аз го докарах до [tex]\lim_{n\to\infty }abc\sqrt[n]{\frac{1}{b^{n}c^{n}}+\frac{1}{a^{n}c^{n}}+\frac{1}{a^{n}b^{n}}}[/tex] и дотам. Някакви идеи? Задачата ми трябва за сряда.


изкарай най-голямото число предкорена и ползваи, че ако [tex]\frac{p}{q }<1 [/tex], то [tex]\lim_{n\to\infty }(\frac{p}{q })^n=0 [/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Manwe
Начинаещ


Регистриран на: 16 Nov 2009
Мнения: 8


МнениеПуснато на: Tue Nov 17, 2009 6:38 pm    Заглавие: На мен ми предложиха този отговор:

Значи ето каква е идеята:

Да приемем, че:

[tex] \sqrt[n]{max(a,b,c)^{n}} \le \sqrt[n]{a^{n}+b^{n}+c^{n}} \le \sqrt[n]{3max(a,b,c)^{n}} [/tex]

[tex] \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{max(a,b,c)^{n}} \le \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a^{n}+b^{n}+c^{n}} \le \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{3max(a,b,c)^{n}} [/tex]

[tex] max(a,b,c)\le \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a^{n}+b^{n}+c^{n}} \le \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{3} \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{max(a,b,c)^{n}}[/tex]

И оттам се получава че лимесът от корена е <= и >= на max(a,b,c). Условието беше да се докаже че границата е max(a,b,c) Доколкото разбрах 3-ката се вмъква тъй като приемаме, че границата наистина ни е тази в задачата, следователно коренището ще е по-малко от корен от 3те максимума. Ама нещо самото предположение не ми е ясно. Можем ли наистина да допуснем това в 1вия ред, че коренът е по-малък от 3*максимума под корен? Защо пък и това отдясно да не е по-малко от [tex] \sqrt[n]{a^{n}+b^{n}+c^{n}}[/tex]?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
pipi langstrump
Начинаещ


Регистриран на: 15 Feb 2009
Мнения: 24

Репутация: 4.8Репутация: 4.8Репутация: 4.8Репутация: 4.8
гласове: 1

МнениеПуснато на: Fri Nov 20, 2009 12:57 am    Заглавие:

naitsirk ти го е казал ясно - изкарваш члена с най-голяма основа извън корена и използваш следната граница:

[tex]\lim_{n\to\infty } \sqrt[n]{a_{n}} = 1[/tex] при положение, че [tex] \lim_{n\to\infty} a_n[/tex] е крайно число > 0

Примерно ако имаш

[tex]\lim_{n\to\infty } \sqrt[n]{2^n + 3^n + 4^n}[/tex] правиш

[tex]\lim_{n\to\infty } \sqrt[n]{2^n + 3^n + 4^n} = \sqrt[n]{4^n \left(\left(\frac{2}{4}\right)^n + \left(\frac{3}{4}\right)^n + 1 \right)} = 4\lim_{n\to\infty }\sqrt[n]{ \left(\frac{2}{4}\right)^n + \left(\frac{3}{4}\right)^n + 1} [/tex]

Сега това под корена клони към 1 - по-голямо от нула и по-малко от безкрайност, значи отговора е 4.

Също е очевидно, че броят на събираемите е без значение за крайния резултат.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
mathinvalidnik
Фен на форума


Регистриран на: 04 Jun 2008
Мнения: 577
Местожителство: Вкъщи
Репутация: 43.4Репутация: 43.4Репутация: 43.4Репутация: 43.4
гласове: 20

МнениеПуснато на: Fri Nov 20, 2009 3:50 pm    Заглавие: Re: Граница от корен n-ти

naitsirk написа:
Manwe написа:
Ето една интересна граница: [tex]\lim_{n\to\infty }\sqrt[n]{a^{n}+b^{n}+c^{n}}=max(a,b,c)[/tex]

Трябва да се докаже, че въпросното нещо клони към най-голямото от a,b или c, като a,b,c>0. Аз го докарах до [tex]\lim_{n\to\infty }abc\sqrt[n]{\frac{1}{b^{n}c^{n}}+\frac{1}{a^{n}c^{n}}+\frac{1}{a^{n}b^{n}}}[/tex] и дотам. Някакви идеи? Задачата ми трябва за сряда.


изкарай най-голямото число предкорена и ползваи, че ако [tex]\frac{p}{q }<1[/tex],то [tex]\lim_{n\to\infty }(\frac{p}{q })^n=0 [/tex]


Вероятно си имал предвид ако [tex]| \frac{p}{q } | <1[/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
naitsirk
Напреднал


Регистриран на: 03 Jul 2008
Мнения: 295
Местожителство: Казанлък
Репутация: 57.7
гласове: 34

МнениеПуснато на: Fri Nov 20, 2009 7:29 pm    Заглавие:

в задачата е казано, че числата са положителни, т.е. можем и без модула да минем Smile
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Граници на редици и функции Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.