Задача за трапец

[estoyanovvd]

Нека точка М е от основата АВ на трапеца ABCD(AB>CD), а точка N е вътрешна за триъгълника DMC. Ако [tex]AN\cap DM=P[/tex], [tex]BN\cap CM=Q[/tex] и [tex]PQ||AB[/tex], да се докаже, че правите [tex]AD,BC[/tex] и [tex]MN[/tex], се пресичат в една точка.

[Реклама]

[martosss]

Нека правата [tex]MN[/tex] пресича [tex]PQ[/tex] и [tex]DC[/tex] в точки [tex]T[/tex], [tex]S[/tex] , [tex]AD[/tex] и [tex]BC[/tex] пресичат [tex]MN[/tex] в точки [tex]E[/tex], [tex]F[/tex].
Тогава
[tex]\frac{PT}{TQ}=\frac{AM}{MB}=\frac{DS}{SC}[/tex]
Оттук [tex]S[/tex] и [tex]M[/tex] делят [tex]DC[/tex] и [tex]AB[/tex] в едно и също отношение. Тогава [tex]\Del AME\approx \Del DSE,\;\;\;\Del BMF\approx\Del CSF[/tex], откъдето
[tex]\frac{ES}{EM}=\frac{FS}{FM}=\frac{DS}{AM}[/tex]
сега ако допуснем, че [tex]EF[/tex] съществува(тоест [tex]EF\ne 0[/tex]) от отношението получаваме [tex]SM=0[/tex], което е невъзможно. Тогава [tex]EF=0[/tex] и точките [tex]E[/tex] и [tex]F[/tex] съвпадат.