Регистрирайте сеРегистрирайте се

Неравенство от четвърта степен


 
   Форум за математика Форуми -> Неравенства
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
Spider Iovkov
VIP


Регистриран на: 12 Jan 2007
Мнения: 1273

Репутация: 199.9Репутация: 199.9
гласове: 129

МнениеПуснато на: Tue Sep 22, 2009 11:58 am    Заглавие: Неравенство от четвърта степен

Да се намерят всички реални стойности на параметъра [tex]a[/tex], за които неравенството [tex]ax^4-x^2-x+\frac{5}{4}\ge 0[/tex] е изпълнено за всяко реално [tex]x[/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Tue Sep 22, 2009 12:24 pm    Заглавие:

Нека [tex]a\ge 1\Right a=k+1[/tex] тогава неравенството е еквивалентно на
[tex]kx^4+x^4-x^2-x+\frac{5}{4}=kx^4+(x^2-1)^2+\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\ge 0[/tex]
Това е изпълнено за к≥0, откъдето при a≥1 н-ството е изпълнено.

Остава а<1 Smile
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
_sssss
Фен на форума


Регистриран на: 07 Dec 2008
Мнения: 633

Репутация: 85.8Репутация: 85.8
гласове: 50

МнениеПуснато на: Tue Sep 22, 2009 12:49 pm    Заглавие:

Получавам [tex]a>\frac{3}{4}[/tex] май.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Grievery
Редовен


Регистриран на: 24 Jun 2009
Мнения: 197

Репутация: 13
гласове: 6

МнениеПуснато на: Tue Sep 22, 2009 12:57 pm    Заглавие:

martosss, как получи, че при [tex]x\le 0[/tex] неравенството е изпълнено за всяко [tex]a[/tex]? Да вземем например следния случай: [tex]a=x=-2[/tex]

[tex]ax^{4 }-x^{2 }-x+\frac{5}{4 } =-2.16-4+2+\frac{5}{4 } =-32\frac{3}{4 } <0 [/tex]!!!
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ганка симеонова
SUPER VIP


Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
Репутация: 618.5Репутация: 618.5Репутация: 618.5
гласове: 298

МнениеПуснато на: Tue Sep 22, 2009 1:05 pm    Заглавие:

Аз получавам като Сеппен, само че нестрого [tex]a\ge \frac{3}{4 } [/tex]
Равенство за х=1
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Tue Sep 22, 2009 1:17 pm    Заглавие:

Поправих си поста, сега остана a<1 Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
_sssss
Фен на форума


Регистриран на: 07 Dec 2008
Мнения: 633

Репутация: 85.8Репутация: 85.8
гласове: 50

МнениеПуснато на: Tue Sep 22, 2009 1:23 pm    Заглавие:

[tex]\normal lim_{x \to \pm \infty}f(x)=+\infty \Leftrightarrow a>0[/tex]

[tex]\normal f'(x)=4ax^3 - 2x - 1[/tex]
Ако приемем, че [tex]\normal f(x)[/tex] има екстремум в [tex]\normal x=\varphi[/tex].
[tex]\normal f'(\varphi)=0 \Leftrightarrow a\varphi^4=\frac{2\varphi^2 + \varphi}{4}[/tex]

[tex]\normal f(\varphi) \ge 0 \Rightarrow -2\varphi^2 - 3\varphi + 5 \ge 0 \Leftrightarrow \varphi \in [-\frac{5}{2}; \, 1][/tex]

И сега задачата се преобразува в: Кога всички корени на [tex]\normal f'(x)=0[/tex] са в [tex]\normal [-\frac{5}{2}; \, 1][/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Spider Iovkov
VIP


Регистриран на: 12 Jan 2007
Мнения: 1273

Репутация: 199.9Репутация: 199.9
гласове: 129

МнениеПуснато на: Tue Sep 22, 2009 1:28 pm    Заглавие:

ганка симеонова написа:
Аз получавам като Сеппен, само че нестрого [tex]a\ge \frac{3}{4 } [/tex]
Равенство за х=1


Това е, Ганке.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ганка симеонова
SUPER VIP


Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
Репутация: 618.5Репутация: 618.5Репутация: 618.5
гласове: 298

МнениеПуснато на: Tue Sep 22, 2009 1:30 pm    Заглавие:

Аз пък оставям а от едната страна. От другата се получава дробна ф-я на х и разглеждам поведението и. После гледам кога графиката на а е над графиката на дробната ф-я.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Spider Iovkov
VIP


Регистриран на: 12 Jan 2007
Мнения: 1273

Репутация: 199.9Репутация: 199.9
гласове: 129

МнениеПуснато на: Tue Sep 22, 2009 1:41 pm    Заглавие:

Я напиши, че ми стана страшно интересно, Very Happy , после аз ще пусна друго решение.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ганка симеонова
SUPER VIP


Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
Репутация: 618.5Репутация: 618.5Репутация: 618.5
гласове: 298

МнениеПуснато на: Tue Sep 22, 2009 1:58 pm    Заглавие:

[tex]f(x)=\frac{4x^2+4x-5}{4x^4 } ; g(x)=a[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Tue Sep 22, 2009 2:11 pm    Заглавие:

martosss написа:
Нека [tex]a\ge 1\Right a=k+1[/tex] тогава неравенството е еквивалентно на
[tex]kx^4+x^4-x^2-x+\frac{5}{4}=kx^4+(x^2-1)^2+\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\ge 0[/tex]
Това е изпълнено за к≥0, откъдето при a≥1 н-ството е изпълнено.

При a<1 имаме a=1-k, k>0, с което получаваме
[tex](x^2-1)^2+\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\ge kx^4[/tex] понеже за х=0 е изпълнено, то може да разделим на х на четвърта степен, което е положително.
[tex]\underbrace{\left(1-\frac{1}{x^2}\right)}_{A}^2+\underbrace{\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^2}\right)}_{B}^2\ge k[/tex]
Сега търсим какъв е A²+B² MIN. За лявата страна имаме 3 варианта:
1. [tex]A=0\Right 1-\frac{1}{x^2}=0\Right x=\pm 1\Right \begin{tabular}{|1}B=\left(1-\frac{1}{2}\right)^2=\fbox{\frac{1}{4}\ge k}\\B=\left(-1-\frac{1}{2}\right)^2=\frac{9}{4}\ge k\end{tabular}[/tex]
2. [tex]B=0\Right x=\frac{1}{2}\Right A=(1-4)^2=9\ge k[/tex]
3. [tex]\begin{tabular}{|1}1-\frac{1}{x^2}\ne 0\\\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^2}\ne 0\end{tabular}\Right (A-B)^2\ge 0\Right A^2+B^2\ge 2AB[/tex], като равенство се достига при [tex]A^2=B^2[/tex].
тъй като вече имаме [tex]\frac{1}{4}\ge k[/tex], то сега се опитваме да ограничим [tex]k[/tex] допълнително:
[tex]\frac{1}{4}\ge 2A^2\ge k\Right \frac{1}{4}\ge 2\left(1-\frac{1}{x^2}\right)^2\Right x^2\in \left(-2\: ;\: -\frac{2}{3}\right)\cup\left(\frac{2}{3}\: ;\: 2\right)[/tex]
Сега приравняваме [tex]A^2=B^2[/tex] и намираме х, след което ще проверим кои решения са в горния интервал. Имаме
[tex]\left(1-\frac{1}{x^2}\right)^2=\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^2}\right)^2 \Right\left(1-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}+\frac{1}{2x^2}\right)\left(1-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^2}\right)=(2x^2-2x-1)(2x^2+2x-3)=0\Right[/tex]

[tex]x_{1,2}=\frac{1\pm \sqrt{3}}{2}\cup x_{3,4}=\frac{-1\pm \sqrt{7}}{2}\Right x_{1,2}^2=1\pm\frac{\sqrt 3}{2}\cup x_{3,4}^2=2\pm \frac{\sqrt 7}{2}[/tex]
От тези 4 корена само [tex]x_1^2=1+\frac{\sqrt 3}{2}[/tex] влиза в търсените интервали, така че заместваме [tex]x^2[/tex] с него и решаваме полученото н-ство за к:
[tex]2\left(1-\frac{1}{1+\frac{\sqrt 3}{2}}\right)^2\ge k\Right 2\left(\frac{1+\frac{\sqrt 3}{2}-1}{1+\frac{ \sqrt 3}{2}\right)^2\ge k\Right 2*\frac{ \frac{3}{4}}{\frac{7}{4}+\sqrt 3}\ge k[/tex]
Сега проверяваме, че [tex]\frac{3}{\frac{7}{2}+2\sqrt 3}>\frac{1}{4}\ge k[/tex], с което това също не е решение.
Окончателно остава само случай 1, при който получаваме [tex]\frac{1}{4}\ge k\Right a \ge \frac{3}{4}[/tex], като равенство се достига при [tex]x=1[/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Spider Iovkov
VIP


Регистриран на: 12 Jan 2007
Мнения: 1273

Репутация: 199.9Репутация: 199.9
гласове: 129

МнениеПуснато на: Tue Sep 22, 2009 5:15 pm    Заглавие:

Директно се проверява, че при [tex]x=0[/tex] неравенството е вярно. Ако [tex]x\neq 0[/tex], разделяме двете страни на неравенството с положителното число [tex]x^4[/tex] и получаваме [tex]a-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^3}+\frac{5}{4}.\frac{1}{x^4}\ge 0[/tex]. Полагаме [tex]\frac{1}{x}=v[/tex], откъдето достигаме до новото неравенство [tex]\frac{5}{4}v^4-v^3-v^2+a\ge 0[/tex]. За да намерим търсените стойности на [tex]a[/tex], ще разгледаме функцията [tex]f(v)=\frac{5}{4}v^4-v^3-v^2+a[/tex]. Нейната производна е [tex]f'(v)=5v^2-3v^2-2v[/tex]. Тя се нулира в точките [tex]-\frac{2}{5}, \, 0, \, 1[/tex]. Нанасяме тези числа на числовата ос, решаваме неравенствата [tex]f'(v)>0[/tex] и [tex]f'(v)<0[/tex] и установяваме, че

[tex]\begin{array}{||} f'(v)>0 \Leftrightarrow v \in (-\frac{2}{5};0) \cup (1;+\infty) \Leftrightarrow f(v) \nearrow \\ f'(v)<0 \Leftrightarrow v \in (-\infty;-\frac{2}{5}) \cup (0;1) \Leftrightarrow f(v) \searrow \end{array}[/tex].

Тогава в точките [tex]v_{0}=-\frac{2}{5}[/tex] и [tex]v_{0}=1[/tex] функцията има минимуми (защото от намаляваща тя става растяща). По-малкото от числата [tex]f(-\frac{2}{5})[/tex] и [tex]f(1)[/tex] е най-малката стойност на [tex]f(v)[/tex]. В такъв случай трябва да е изпълнено [tex]f(-\frac{2}{5}) \ge 0[/tex] или [tex]f(1) \ge 0[/tex], откъдето [tex]a \in [\frac{8}{125};+\infty)[/tex] или [tex]a \in [\frac{3}{4};+\infty)[/tex] – т. е. [tex]a \in [\frac{3}{4};+\infty)[/tex].

Забележка. Отдолу е картинката с графиката на [tex]f(v)[/tex] при [tex]a=\frac{3}{4}[/tex].

П. П. Марто, много сложно си го направил, Crying or Very sad . А пък после аз съм бил царят на дългите решения, Razz .



Параметрична функция.jpg
 Description:
 Големина на файла:  14.85 KB
 Видяна:  1805 пъти(s)

Параметрична функция.jpg


Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Tue Sep 22, 2009 9:49 pm    Заглавие:

Моето решение може и да е сложно, но не използва функционален анализ. Wink Освен това сложна е частта, в която се доказва че минимумът на тази тегава функция е 1/4, останалата част е 5 реда, както сам можеш да се убедиш.

Но ако искаш късо - ето ти късо - сега е наполовина. Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Неравенства Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
You cannot attach files in this forum
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.