Неравенство от четвърта степен

[Spider Iovkov]

Да се намерят всички реални стойности на параметъра [tex]a[/tex], за които неравенството [tex]ax^4-x^2-x+\frac{5}{4}\ge 0[/tex] е изпълнено за всяко реално [tex]x[/tex].

[Реклама]

[martosss]

Нека [tex]a\ge 1\Right a=k+1[/tex] тогава неравенството е еквивалентно на
[tex]kx^4+x^4-x^2-x+\frac{5}{4}=kx^4+(x^2-1)^2+\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\ge 0[/tex]
Това е изпълнено за к≥0, откъдето при a≥1 н-ството е изпълнено.

Остава а<1

[_sssss]

Получавам [tex]a>\frac{3}{4}[/tex] май.

[Grievery]

martosss, как получи, че при [tex]x\le 0[/tex] неравенството е изпълнено за всяко [tex]a[/tex]? Да вземем например следния случай: [tex]a=x=-2[/tex]

[tex]ax^{4 }-x^{2 }-x+\frac{5}{4 } =-2.16-4+2+\frac{5}{4 } =-32\frac{3}{4 } <0 [/tex]!!!

[ганка симеонова]

Аз получавам като Сеппен, само че нестрого [tex]a\ge \frac{3}{4 } [/tex]
Равенство за х=1

[martosss]

Поправих си поста, сега остана a<1

[_sssss]

[tex]\normal lim_{x \to \pm \infty}f(x)=+\infty \Leftrightarrow a>0[/tex]

[tex]\normal f'(x)=4ax^3 - 2x - 1[/tex]
Ако приемем, че [tex]\normal f(x)[/tex] има екстремум в [tex]\normal x=\varphi[/tex].
[tex]\normal f'(\varphi)=0 \Leftrightarrow a\varphi^4=\frac{2\varphi^2 + \varphi}{4}[/tex]

[tex]\normal f(\varphi) \ge 0 \Rightarrow -2\varphi^2 - 3\varphi + 5 \ge 0 \Leftrightarrow \varphi \in [-\frac{5}{2}; \, 1][/tex]

И сега задачата се преобразува в: Кога всички корени на [tex]\normal f'(x)=0[/tex] са в [tex]\normal [-\frac{5}{2}; \, 1][/tex].

[Spider Iovkov]

[ганка симеонова]

Аз пък оставям а от едната страна. От другата се получава дробна ф-я на х и разглеждам поведението и. После гледам кога графиката на а е над графиката на дробната ф-я.

[Spider Iovkov]

Я напиши, че ми стана страшно интересно, , после аз ще пусна друго решение.

[ганка симеонова]

[tex]f(x)=\frac{4x^2+4x-5}{4x^4 } ; g(x)=a[/tex]

[martosss]

[Spider Iovkov]

Директно се проверява, че при [tex]x=0[/tex] неравенството е вярно. Ако [tex]x\neq 0[/tex], разделяме двете страни на неравенството с положителното число [tex]x^4[/tex] и получаваме [tex]a-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^3}+\frac{5}{4}.\frac{1}{x^4}\ge 0[/tex]. Полагаме [tex]\frac{1}{x}=v[/tex], откъдето достигаме до новото неравенство [tex]\frac{5}{4}v^4-v^3-v^2+a\ge 0[/tex]. За да намерим търсените стойности на [tex]a[/tex], ще разгледаме функцията [tex]f(v)=\frac{5}{4}v^4-v^3-v^2+a[/tex]. Нейната производна е [tex]f'(v)=5v^2-3v^2-2v[/tex]. Тя се нулира в точките [tex]-\frac{2}{5}, \, 0, \, 1[/tex]. Нанасяме тези числа на числовата ос, решаваме неравенствата [tex]f'(v)>0[/tex] и [tex]f'(v)<0[/tex] и установяваме, че

[tex]\begin{array}{||} f'(v)>0 \Leftrightarrow v \in (-\frac{2}{5};0) \cup (1;+\infty) \Leftrightarrow f(v) \nearrow \\ f'(v)<0 \Leftrightarrow v \in (-\infty;-\frac{2}{5}) \cup (0;1) \Leftrightarrow f(v) \searrow \end{array}[/tex].

Тогава в точките [tex]v_{0}=-\frac{2}{5}[/tex] и [tex]v_{0}=1[/tex] функцията има минимуми (защото от намаляваща тя става растяща). По-малкото от числата [tex]f(-\frac{2}{5})[/tex] и [tex]f(1)[/tex] е най-малката стойност на [tex]f(v)[/tex]. В такъв случай трябва да е изпълнено [tex]f(-\frac{2}{5}) \ge 0[/tex] или [tex]f(1) \ge 0[/tex], откъдето [tex]a \in [\frac{8}{125};+\infty)[/tex] или [tex]a \in [\frac{3}{4};+\infty)[/tex] – т. е. [tex]a \in [\frac{3}{4};+\infty)[/tex].

Забележка. Отдолу е картинката с графиката на [tex]f(v)[/tex] при [tex]a=\frac{3}{4}[/tex].

П. П. Марто, много сложно си го направил, . А пък после аз съм бил царят на дългите решения, .

[martosss]

Моето решение може и да е сложно, но не използва функционален анализ. Освен това сложна е частта, в която се доказва че минимумът на тази тегава функция е 1/4, останалата част е 5 реда, както сам можеш да се убедиш.

Но ако искаш късо - ето ти късо - сега е наполовина.