Регистрирайте сеРегистрирайте се

Интеграли на Валис


 
   Форум за математика Форуми -> Теория за студенти и студентски състезания по Математика
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
ObsCure
Фен на форума


Регистриран на: 02 Jul 2007
Мнения: 990
Местожителство: Казанлък/Пловдив
Репутация: 104.4
гласове: 28

МнениеПуснато на: Thu Sep 17, 2009 9:00 pm    Заглавие: Интеграли на Валис

Интегралите

[tex]1)\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin^{n}xdx[/tex]

[tex]2)\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}cos^{n}xdx[/tex]

където [tex]n[/tex] е естесвено число,се наричат интеграли на Валис.Горните два интеграла са равни помежду си,и това равенство ще докажем със следното

Свойство :Ако [tex]f(x)[/tex] е непрекъсната ф-я в [tex][0,1][/tex],то

[tex]\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(sinx)dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(cosx)dx[/tex]

Доказателство:В левия интеграл полагаме

[tex]x=\frac{\pi}{2}-t =>\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(sinx)dx=-\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}f[sin(\frac{\pi}{2}-t)]dt=-\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}f(cost)dt=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(cost)dt[/tex]

Понеже [tex]x^{n}[/tex] при всяко естествено число е непрекъсната ф-я,то

[tex]\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}cos^{n}xdx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin^{n}xdx[/tex]

Нека

[tex]W_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin^{n}xdx[/tex]

Следователно

[tex]W_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin^{n-1}xsinxdx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin^{n-1}xd(-cosx)=[/tex]
[tex][\{sin^{n-1}\frac{\pi}{2}(-cos{\frac{\pi}{2}})\}-\{sin^{n-1}0(-cos0)\}]+(n-1)\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}cos^{2}xsin^{n-2}xdx=[/tex]
[tex](n-1)\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1-sin^{2}x)sin^{n-2}xdx=(n-1)\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin^{n-2}xdx-(n-1)\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin^{n}xdx=(n-1)W_{n-2}-(n-1)W_{n}[/tex]

т.е

[tex]W_{n}=\frac{n-1}{n}W_{n-2}[/tex]

Забележка:Под [tex]n!![/tex] разбираме произведението на всички естествени числа,които са не по-големи от [tex]n[/tex] и имащи същата четност.

Примери:7!!=7.5.3.1
8!!=8.6.4.2

С помощта на тези символи [tex]W_{n}[/tex] може да се напише още и като

[tex]W_{n}=\frac{(n-1)!!}{n!!}.\frac{\pi}{2}[/tex] ([tex]n[/tex]-четно)

[tex]W_{n}=\frac{(n-1)!!}{n!!}[/tex] ([tex]n[/tex]-нечетно)

По-дългият запис е

[tex]W_{n}=\frac{(n-1)(n-3)...5.3.1}{n(n-2)...6.4.2}.\frac{\pi}{2}[/tex] ([tex]n[/tex]-четно)

[tex]W_{n}=\frac{(n-1)(n-3)...6.4.2}{n(n-2)...5.3.1}[/tex] ([tex]n[/tex]-нечетно)

Сега ще докажем следната

Формула на Валис:Ако [tex]n[/tex] е четно естествено число,то

[tex]\lim_{n\to \infty}\lambda_{n}=\lim_{n\to \infty}[\frac{n(n-2)(n-4)...4.2}{(n1)(n-3)...5.3}]^{2}=\pi[/tex]

Доказателство:Нека [tex]n[/tex] е четно естествено число.От неравенствата

[tex]0<sin^{n+1}x<sin^{n}x<sin^{n-1}x<1 (0<x<\frac{\pi}{2})[/tex]

получаваме

[tex]W_{n+1}<W_{n}<W_{n-1}[/tex]

или още

[tex][\frac{n(n-2)(n-4)...4.2}{(n-1)(n-3)...5.3}]^{2}.\frac{2}{n+1}<\pi<[\frac{n(n-2)(n-4)...4.2}{(n-1)(n-3)...5.3)}]^{2}.\frac{2}{n}[/tex]

Означаваме

[tex]\lambda_{n}=[\frac{n(n-2)(n-4)...4.2}{(n-1)(n-3)...5.3)}]^{2}.\frac{2}{n}[/tex]

и тогава горното неравенство приема вида

[tex]\lambda_{n}\frac{n}{n+1}<\pi<\lambda_{n} => \frac{n}{n+1}<\frac{\pi}{\lambda_{n}}<1[/tex]

И тъй като [tex]\frac{n}{n+1}[/tex] клони към [tex]1[/tex] при [tex]n->\infty[/tex],то

[tex]\lim_{n\to \infty}\lambda_{n}=\lim_{n\to \infty}[\frac{n(n-2)(n-4)...4.2}{(n-1)(n-3)...5.3}]^{2}=\pi[/tex]

Quod erat demonstrandum Cool

Това е една от първите формули,с която се е пресмятало рационалното приблизително представяне на
[tex]\pi[/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Теория за студенти и студентски състезания по Математика Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
You cannot attach files in this forum
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2020 math10.com.