Регистрирайте сеРегистрирайте се

Помогнете ми за тези задачи моля!


 
   Форум за математика Форуми -> Висша алгебра(ВА)
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
Didko
Начинаещ


Регистриран на: 24 Aug 2009
Мнения: 2


МнениеПуснато на: Mon Aug 24, 2009 4:11 pm    Заглавие: Помогнете ми за тези задачи моля!

1) Изследвайте редовете:
а)[tex]u_{n}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n} }{ n^{\alpha }} , \alpha \in R[/tex]

b) [tex]v_{n} = (-1)^{n} \frac{n}{ n^{2}+ 1} +\frac{3}{4 }[/tex]

2) Test for Uniform convergence

[tex]f_{n}(x)= x^{n} - x^{2n} , x\in (0,1][/tex]

3) Изчислете като използвате степенни редове:

[tex]\int_{0}^{1 } e^{-x^{2}} dx [/tex] ; error=[tex]10^{-2}[/tex]

4) Изследвайте за диференциалност член по член

[tex]\sum_{1}^{\infty } \frac{sin(n^{3}x)}{2n^{5}+3 }[/tex] , x [tex]\in R[/tex]


5) [tex]\sum_{}^{ } z_{n} [/tex]
[tex]z_{n}=x_{n}+iy_{n}[/tex]

а)Покажете че [tex]\sum_{}^{ } z_{n}[/tex] е сходяща ако [tex]\sum_{}^{ } x_{n}[/tex] и [tex]\sum_{}^{ } y_{n}[/tex] са сходящи

б) Приложете за

[tex]\sum_{}^{ } \frac{1}{n + i } ; i^{2} = -1[/tex]


Моля да ме извините ако условията са неясни,но съм ги превеждал от английски.
Благодаря!
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
Flame
Редовен


Регистриран на: 24 Mar 2009
Мнения: 213
Местожителство: София
Репутация: 29.6Репутация: 29.6Репутация: 29.6
гласове: 16

МнениеПуснато на: Wed Aug 26, 2009 9:54 am    Заглавие: Re: Помогнете ми за тези задачи моля!

Didko написа:

5) [tex]\sum_{}^{ } z_{n} [/tex] , [tex]z_{n}=x_{n}+iy_{n}[/tex]
а)Покажете че [tex]\sum_{}^{ } z_{n}[/tex] е сходяща ако [tex]\sum_{}^{ } x_{n}[/tex] и [tex]\sum_{}^{ } y_{n}[/tex] са сходящи
б) Приложете за [tex]\sum_{}^{ } \frac{1}{n + i } [/tex]

Задача 5 а)
Това е теорема, която се използва, както в [tex] C[/tex], така и в [tex]R[/tex]. Избирам да се позава на следното:
Определение. Ако даден ред може да се представи с краен брой частни суми и всички частни суми образуват сходящи редове, то и дадения ред е сходящ[tex]\Delta [/tex]
В нашия сличай имаме една сума в реалната и една в имагенерната област и двете суми са сходящи. От друга страна [tex]\sum_{}^{ }x_n [/tex]и[tex] \sum_{}^{ }y_n [/tex]напълно изчерпват елементите на[tex] \sum_{}^{ } z_n [/tex](няма други елементи), от което следва, че и сумата [tex]\sum_{}^{ }z_n[/tex] образува сходящ ред.
Обратното, ако точно една парциална сума образува разходящ ред, а всички останали схорящи, то и редът образуван от всички тези суми е разходящ.
Може да се докаже и чрез клонене на остатъците на всички парциални суми към 0.
Задача 5 б)
[tex]\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n+i}[/tex]- постъпваме така умножаваме и делим общия член на сумата с комплексно спрегнатато число на знаменателя.
[tex] \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n+i}.\frac{n-i}{n-i } =\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n-i}{n^2-i^2}=\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n-i}{n^2+1}= \sum_{n=1}^{ \infty }( \frac{n}{n^2+1}-i. \frac{1}{n^2+1 } )=\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n}{n^2+1}-i. \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n^2+1 } [/tex]- докарахме нещата до две парциални суми, и предстои изследване на тяхната сходимост с критерий за неотрицателни редове.
[tex]\frac{1}{n^2+1} <\frac{1}{n^2 } \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{n^2+1 } <\sum_{n=1}^{ \infty }\frac{1}{ n^2}= \frac{\pi ^2}{ 6} \Rightarrow\sum_{n=1}^{ \infty }\frac{1}{ n^2+1}[/tex] -е сходящ съгласно показаното мажориране.
Втория ред най-елегантно се изследва с интегралния критерий на Коши.
[tex]K=\int_{1}^{ \infty} \frac{x}{x^2+1 } dx=\frac{1}{2 }\ln{(x^2+1)}|_1^\infty =\lim_{x\to\infty }\frac{1}{ 2}\ln(x^2+1) -\frac{1}{ 2}\ln(2) \Rightarrow[/tex]-границата не съществува, от което следва, че интеграла е разходящ. По този критерий е доказано, че изследвания ред е разходящ.
И така за дадения комплексен ред е доказано, че едната парциална сума образува сходящ ред а другата разходящ, от което следва, че редът:
[tex]\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n+i}[/tex]- е разхорящ. Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Didko
Начинаещ


Регистриран на: 24 Aug 2009
Мнения: 2


МнениеПуснато на: Wed Aug 26, 2009 4:20 pm    Заглавие:

Благодаря много. Ще се радвам ако някой ми помогне и за другите задачи,тъй като изпита ми е в понеделник.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Висша алгебра(ВА) Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
You cannot attach files in this forum
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.