Регистрирайте сеРегистрирайте се

Лесно неравенство, което не мога да реша ;(


 
   Форум за математика Форуми -> Неравенства
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
Mechkov
Начинаещ


Регистриран на: 29 Apr 2009
Мнения: 41

Репутация: 4.7Репутация: 4.7Репутация: 4.7Репутация: 4.7
гласове: 1

МнениеПуснато на: Sun Aug 23, 2009 2:18 pm    Заглавие: Лесно неравенство, което не мога да реша ;(

Как се доказва, че ако [tex]a,b,c,d > 0[/tex] [tex] a + b + c + d = 4[/tex],
то [tex]a + b + c +d \ge a^2cd + b^2ad + c^2ab + d^2bc [/tex]
Вече второ неравенство ме спъва, заради това. Странното е, че със СА - СГ успявам да докажа, че лявата страна на квадрат е по - голяма или равна на 4 пъти сбора на КОРЕНИТЕ на събираемите, а не на самите събираеми Laughing .
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Sun Aug 23, 2009 6:27 pm    Заглавие:

Мога да ти дам нещо като идея, малко е грозно и не е лесно, ама може да стане. Wink
Умножаваш двете по 64 и получаваш
44≥64(a²cd+...)
Сега 44=(a+b+c+d)4.
Заместваш го, с което получаваш навсякъде 4-та степен.
(a+b+c+d)4≥64(a²cd+...)
Сега вече почваш със СА-СГ и ... малко трудно, но може и да стане Wink

Ако даваш СА-СГ трябва да си сигурен, че е хомогенно, тоест навсякъде ти е 4-та степен(а не както тук от едната страна 1-ва, от другата 4-та.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Mechkov
Начинаещ


Регистриран на: 29 Apr 2009
Мнения: 41

Репутация: 4.7Репутация: 4.7Репутация: 4.7Репутация: 4.7
гласове: 1

МнениеПуснато на: Sun Aug 23, 2009 7:03 pm    Заглавие:

Мерси. Попринцип е от книжка за начинаещи (да се чете "бавноразвиващи се като мен") и не вярвам да е нещо сложно, ама ще го напъна по твоя начин и дано стане.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Sun Aug 23, 2009 9:50 pm    Заглавие:

Значи второ неравенство те спъва? Я напиши първото Laughing И ако може дай някоя от предишните задачи и как я решават авторите... нямаш ли решения? Иначе това освен да се хомогенизира(дигането на 4-та) не знам, може би трябва да изчакаме леля Ганка Razz

Пък даже с 4-та степен се получават едни abcd-та, дето не знам как да се оттърва от тях Sad
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Sun Aug 23, 2009 11:45 pm    Заглавие:

Дойде ми друга свежа идея как да изравним степените(особено в 12:30 много хубави идеи ми идват Laughing ) - да го представиш по следния начин:
[tex]\frac{(a-b)^2}{3}\ge \frac{2}{3}ab[/tex]
Това го прилагаш и за ac,ad,bc,bd,cd, след което събираш всичко и получаваш


[tex]a^2+b^2+c^2+d^2\ge \frac{2}{3}\left(ab+bc+cd+ad+bc+bd+cd\right)[/tex]. Това се записва като:
[tex]\sum_{cyc}a^2\ge \frac{2}{3}\left(\sum_{sym}ab\right)[/tex]


(тук "[tex]\sum_{cyc}[/tex]" означава циклична сума - събираш първо а², после b², после с², после d²... докато стигнеш до това, от което си почнал. От друга страна "[tex]\sum_{sym}[/tex]" е симетрична сума, тоест сума на всички възможни вариации на произведение на две различни числа, в случая това са - ab,ac,ad, bc,bd, cd - събиране, запомни!)

Сега
[tex](a+b+c+d)^4=\left((a+b+c+d)^2\right)^2=\left(\sum_{cyc}(a^2)+2\sum_{sym}ab\right)^2\ge\left(\frac{8}{3}\sum_{sym}ab\right)^2=\frac{64}{9}\left(\sum_{sym}ab\right)^2[/tex]

Като умножим по 64 за първоначалното неравенство получаваме:
[tex]4^4\ge 64(a^2cd+b^2ad+c^2ab+d^2bc)\\\frac{64}{9}\left(\sum_{sym}ab\right)^2\ge 64\left(\sum_{cyc}a^2cd\right)\\\left(\sum_{sym}ab\right)^2\ge 9\left(\sum_{cyc}a^2cd\right)[/tex]

Сега разписваш... стават интересни неща, но още не съм го довършил докрай, утре(по-късно днес) може да го дообмисля. Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Mechkov
Начинаещ


Регистриран на: 29 Apr 2009
Мнения: 41

Репутация: 4.7Репутация: 4.7Репутация: 4.7Репутация: 4.7
гласове: 1

МнениеПуснато на: Mon Aug 24, 2009 10:41 am    Заглавие:

martosss написа:
Значи второ неравенство те спъва? Я напиши първото Laughing И ако може дай някоя от предишните задачи и как я решават авторите... нямаш ли решения? Иначе това освен да се хомогенизира(дигането на 4-та) не знам, може би трябва да изчакаме леля Ганка Razz

Пък даже с 4-та степен се получават едни abcd-та, дето не знам как да се оттърва от тях Sad

И двете, които ме спъват се свеждат до това. Едното с КБШ, а другото е:
a + b + c + d = 4
[tex]\frac{4}{abcd}\ge\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}[/tex] Laughing
Прикачих книжката, от която е задачата. Има някои много леймърски грешки (например на една задача си заместих с произволни стойности удоволетворяващи условието и излезе, че самата задача е сбъркана Laughing), но като цяло е написано като за идиоти => устройва ме.



basics.pdf
 Description:
Basics of Olympiad Inequalities

Свали
 Име на файл:  basics.pdf
 Големина на файла:  238.88 KB
 Свален:  1270 пъти(s)

Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Mon Aug 24, 2009 3:18 pm    Заглавие:

Хм, сега като прерових файла подробно стигнах до края му... където има упътвания Laughing Точно за тази задача наистина няма, но има за предишната, предполагам трябва нещо подобно да се направи. Наистина се различава от моя метод Laughing
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Неравенства Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
You cannot attach files in this forum
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.