Лесно неравенство, което не мога да реша ;(

[Mechkov]

Как се доказва, че ако [tex]a,b,c,d > 0[/tex] [tex] a + b + c + d = 4[/tex],
то [tex]a + b + c +d \ge a^2cd + b^2ad + c^2ab + d^2bc [/tex]
Вече второ неравенство ме спъва, заради това. Странното е, че със СА - СГ успявам да докажа, че лявата страна на квадрат е по - голяма или равна на 4 пъти сбора на КОРЕНИТЕ на събираемите, а не на самите събираеми .

[Реклама]

[martosss]

Мога да ти дам нещо като идея, малко е грозно и не е лесно, ама може да стане.
Умножаваш двете по 64 и получаваш
4⁴≥64(a²cd+...)
Сега 4⁴=(a+b+c+d)⁴.
Заместваш го, с което получаваш навсякъде 4-та степен.
(a+b+c+d)⁴≥64(a²cd+...)
Сега вече почваш със СА-СГ и ... малко трудно, но може и да стане

Ако даваш СА-СГ трябва да си сигурен, че е хомогенно, тоест навсякъде ти е 4-та степен(а не както тук от едната страна 1-ва, от другата 4-та.

[Mechkov]

Мерси. Попринцип е от книжка за начинаещи (да се чете "бавноразвиващи се като мен") и не вярвам да е нещо сложно, ама ще го напъна по твоя начин и дано стане.

[martosss]

Значи второ неравенство те спъва? Я напиши първото И ако може дай някоя от предишните задачи и как я решават авторите... нямаш ли решения? Иначе това освен да се хомогенизира(дигането на 4-та) не знам, може би трябва да изчакаме леля Ганка

Пък даже с 4-та степен се получават едни abcd-та, дето не знам как да се оттърва от тях

[martosss]

Дойде ми друга свежа идея как да изравним степените(особено в 12:30 много хубави идеи ми идват ) - да го представиш по следния начин:
[tex]\frac{(a-b)^2}{3}\ge \frac{2}{3}ab[/tex]
Това го прилагаш и за ac,ad,bc,bd,cd, след което събираш всичко и получаваш


[tex]a^2+b^2+c^2+d^2\ge \frac{2}{3}\left(ab+bc+cd+ad+bc+bd+cd\right)[/tex]. Това се записва като:
[tex]\sum_{cyc}a^2\ge \frac{2}{3}\left(\sum_{sym}ab\right)[/tex]


(тук "[tex]\sum_{cyc}[/tex]" означава циклична сума - събираш първо а², после b², после с², после d²... докато стигнеш до това, от което си почнал. От друга страна "[tex]\sum_{sym}[/tex]" е симетрична сума, тоест сума на всички възможни вариации на произведение на две различни числа, в случая това са - ab,ac,ad, bc,bd, cd - събиране, запомни!)

Сега
[tex](a+b+c+d)^4=\left((a+b+c+d)^2\right)^2=\left(\sum_{cyc}(a^2)+2\sum_{sym}ab\right)^2\ge\left(\frac{8}{3}\sum_{sym}ab\right)^2=\frac{64}{9}\left(\sum_{sym}ab\right)^2[/tex]

Като умножим по 64 за първоначалното неравенство получаваме:
[tex]4^4\ge 64(a^2cd+b^2ad+c^2ab+d^2bc)\\\frac{64}{9}\left(\sum_{sym}ab\right)^2\ge 64\left(\sum_{cyc}a^2cd\right)\\\left(\sum_{sym}ab\right)^2\ge 9\left(\sum_{cyc}a^2cd\right)[/tex]

Сега разписваш... стават интересни неща, но още не съм го довършил докрай, утре(по-късно днес) може да го дообмисля.

[Mechkov]

[martosss]

Хм, сега като прерових файла подробно стигнах до края му... където има упътвания Точно за тази задача наистина няма, но има за предишната, предполагам трябва нещо подобно да се направи. Наистина се различава от моя метод