Пресечна точка на прави

[Grands]

Дадени са две неуспоредни прави
[tex]a_1x+b_1y=c_1[/tex]
[tex]a_2x+b_2y=c_2[/tex]
които се пресичат в точка P. Докажете че за произволно число [tex]k[/tex] уравнението
[tex](a_1x+b_1y-c_1)+k(a_2x+b_2y-c_2)=0[/tex]
определя права през точката [tex]P[/tex].
Обратно, произволна права през P различна от [tex]a_2x+b_2y=c_2[/tex] може да бъде представена чрез такова уравнение със подходяща стойност на [tex]k[/tex].

Що помоля за помощ по задачата, първата част я реших, но ако някойпоже да ми напише решението че да го сравня. По втората част нямам идея. Благодаря предварително за помощта.

[Реклама]

[masterfromkardjali]

Първо всички прави, които минават през една точка съставят клас на еквивалентност. Поради конгруетността на класовете на еквивалентност и т.к. умноженото с k уравнение попада в този клас на еквивалентност => твоето твърдение.

[Grands]

Благодаря, а по втората част, т.е. обратното твърдение?

[nikko1]

След като и трите прави минават през точката [tex]P(x_0,y_0)[/tex], то двете прави от условието могат да се запишат като
[tex]l_1:\ a_1(x-x_0)+b_1(y-y_0)=0[/tex] ([tex]c_1=a_1x_0+b_1y_0[/tex]) и
[tex]l_2:\ a_2(x-x_0)+b_2(y-y_0)=0[/tex] ([tex]c_2=a_2x_0+b_2y_0[/tex]), където
[tex]\vec{n_1}(a_1, b_1) || l_1[/tex] и
[tex]\vec{n_2}(a_2, b_2) || l_2[/tex] са векторите успоредени на правите. Понеже двете прави са различни, то тези вектори са линейно независими и образуват базис на двумерното пространство (равнината, определена от точката и двете неуспоредни прави през нея).
Нека [tex]l_3:\ a_3(x-x_0)+b_3(y-y_0)=0[/tex] е произволна друга права в равнината през т. P (различна от l_2). Тогава [tex]\vec{n_3}\(a_3,b_3)[/tex] е вектор успореден с [tex]l_3[/tex].
След като [tex]\vec{n_1}[/tex] и [tex]\vec{n_2}[/tex] са базис, то съществуват единствени числа [tex]\lambda_1[/tex] и [tex]\lambda_2[/tex] (поне едното (в случая по условие [tex]\lambda_1[/tex]) различно от 0), такива че [tex]\vec{n_3}=\lambda_1\vec{n_1}+\lambda_2\vec{n_2}[/tex].
Тогава [tex]k=\frac{\lambda_2}{\lambda_1}[/tex] (тук можем да разделим на [tex]\lambda_1\neq 0[/tex] защото в противен случай l_3 съвпада с l_2, което не е изпълнено по условие) и [tex]\color{red}\vec{n_3'}=\frac{\vec{n_3}}{\lambda_1}=\vec{n_1}+k\vec{n_2}[/tex] е успореден на [tex]\vec{n_3}|| l_3[/tex]. Тогава [tex]l_3':\left{\begin{array}{ll}z P\\|| \vec{n_3'}\end{array}\right.\equiv l_3[/tex] (има само една права през точката P успоредна на n_3). Сега използваме равенството между векторите (с червения цвят) [tex]\vec{n_3'}=(a_1,b_1)+k(a_2,b_2)=(a_1+ka_2, b_1+kb_2)[/tex] и l_3 има уравнение [tex]l_3:\ (a_1+ka_2)(x-x_0)+(b_1+kb_2)(y-y_0)=a_1x+b_1y+c_1+k(a_2x+b_2y+c_2)=0[/tex]