Ирационално неравенство с параметър

[Spider Iovkov]

При всички значения на параметъра [tex]a[/tex] да се реши неравенството [tex]\sqrt{x+2a}>x+\sqrt{2a}[/tex].

[Реклама]

[_sssss]

[tex]\normal DM: \, a>0, x>-2a[/tex]

[tex]I. \; \normal x+\sqrt{2a} <0 \leftrightarrow x<-\sqrt{2a}[/tex]

[tex]\normal -2a<-\sqrt{2a} \; \;a>\frac{1}{2}[/tex]

[tex]\normal a\in\(\frac{1}{2}; \, +\infty\) \Rightarrow x\in(-2a; \, -\sqrt{2a})[/tex]

[tex]II. \; \normal x+\sqrt{2a} >0 \leftrightarrow x>-\sqrt{2a}[/tex]

[tex]\normal x(x + 2\sqrt{2a}-1)<0[/tex]

[tex]\normal 1-2\sqrt{2a}>0 \leftrightarrow a<\frac{1}{8}[/tex]

[tex]\normal a\in\(0;\,\frac{1}{8}\) \Leftrightarrow x\in(0;\, 1-2\sqrt{2a})[/tex]

[tex]\normal a>\frac{1}{8}, \, a<\frac{1}{2}, \; 1-2\sqrt{2a}>-2a - \forall a\ne0.5[/tex]

[tex]\normal a\in\(\frac{1}{8}; \, \frac{1}{2}\) \Leftrightarrow x\in(1-2\sqrt{2a}; \, 0)[/tex]

[tex]\normal a=\frac{1}{2}, \, a=\frac{1}{8} \Leftrightarrow x\in\emptyset[/tex]

[Spider Iovkov]

Ето и решението, предложено в руската книга.

Да въведем за удобство [tex]y=\sqrt{x+2a}, \, b=\sqrt{2a}[/tex]. Сега забелязваме, че за [tex]y, \, b[/tex] е изпълнено [tex]y, \, b \ge 0[/tex]. Тъй като [tex]x=y^2-b^2[/tex], то първоначалното неравенство приема вида [tex](y^2-b^2)-(y-b)<0[/tex], или

[tex]\begin{array}{||}(y-b)[y-(1-b)]<0 \\ y\ge 0 \, b\ge 0 \end{array} \, (*)[/tex].

Ще сравним [tex]y_{1}=b[/tex] и [tex]y_{2}=1-b[/tex] помежду им и с нулата. С нулата сравняваме, защото се искат неотрицателни корени. От уравненията

[tex]b=1-b, \, b=0, \, 1-b=0[/tex],

намираме [tex]b=0, \, b=\frac{1}{2}, \, b=1[/tex].

За променливата [tex]b[/tex] ще изследваме системата [tex](*)[/tex] на всеки от интервалите [tex]b\in [0;\frac{1}{2}], \, b\in (\frac{1}{2};1], \, b\in (1;+\infty)[/tex]:

[tex]\ - \ b\in [0;\frac{1}{2}] \Rightarrow y\in (b; -1b)[/tex];

[tex]\ - \ b\in (\frac{1}{2};1] \Rightarrow y\in (1-b;b)[/tex];

[tex]\ - \ b \in (1;+\infty) \Rightarrow y\in [0;b)[/tex].

Преминаваме в променливите [tex](a;x)[/tex]:

[tex]\begin{array}{||} b\in [0;\frac{1}{2}] \Rightarrow y\in (b;1-b) \\ b\in (\frac{1}{2};1] \Rightarrow y\in (1-b;b) \\ b \in (1;+\infty) \Rightarrow y\in [0;b) \end{array} \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \begin{array}{||} \sqrt{2a} \in [0;\frac{1}{2}] \Rightarrow \sqrt{x+2a}\in (\sqrt{2a};1-\sqrt{2a}) \\ \sqrt{2a} \in (\frac{1}{2};1] \Rightarrow \sqrt{x+2a} \in (1-\sqrt{2a};\sqrt{2a}) \\ \sqrt{2a} \in (1;+\infty) \Rightarrow \sqrt{x+2a}\in \in [0;\sqrt{2a} \end{array} \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \begin{array}{||} a\in [0;\frac{1}{8}] \Rightarrow x+2a\in (2a;1-2\sqrt{2a}+2a \\ a\in (\frac{1}{8};\frac{1}{2}] \Rightarrow x+2a \in (1-2\sqrt{2a}+2a;2a) \\ a \in (\frac{1}{2};+\infty) \Rightarrow x+2a\in [0;2a) \end{array} \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \begin{array}{||} a\in [0;\frac{1}{8}] \Rightarrow x\in(0;1-2\sqrt{2a} \\ a\in (\frac{1}{8};\frac{1}{2}] \Rightarrow x\in (1-2\sqrt{2a};0) \\ a \in (\frac{1}{2};+\infty) \Rightarrow x\in [-2a;0) \end{array}[/tex].

Отговор. За [tex]a<0[/tex] няма решения, за [tex]a\in [0;\frac{1}{8}] \Rightarrow x\in (0;1-2\sqrt{2a})[/tex], за [tex]a\in (\frac{1}{8};\frac{1}{2}] \Rightarrow x\in (1-2\sqrt{2a};0)[/tex], за [tex]a\in (\frac{1}{2};+\infty) \Rightarrow x\in [-2a;0)[/tex].

[martosss]

[_sssss]

Винаги пропускам =, а и при 1/2 и 1/8 също си има решение.
Да ме пита човек, де ми е главата.

[Vladi_mnt]

Де ти е главата?