Пирамида

[merili]

Основата на пирамидата ABCDM е изпъкнал четириъгълник ABCD със страни AB=5, BC=[tex]\sqrt{13}[/tex], CD=[tex]\sqrt{5}[/tex], DA=[tex]\sqrt{17}[/tex]. Пресечната точка O на диагоналите AC и BD е ортогонална проекция на M върху основата и OM=4[tex]\sqrt{3}[/tex]. Равнината [tex]\alpha[/tex], определена от средите на отсечките AB, AD и OM сключва с равнината на основата ъгъл 60[tex]^\circ[/tex].
а) Да се докаже, че AC[tex]\bot[/tex]BD.
б) Да се пресметне лицето на сечението на пирамидата с равнината [tex]\alpha[/tex].

[Реклама]

[martosss]

За а) нека [tex]\angle AOB=\gamma[/tex]. Сега от Кос. теореми за [tex]\Del AOB,\: \Del BOC,\: \Del DOC,\: \Del AOD[/tex] изразяваме сборът
[tex]AO^2+BO^2+CO^2+DO^2=AB^2+CD^2-2AOBO\cos\gamma+CD^2-2OCOD\cos\gamma=BC^2+2BOCO\cos\gamma+AD^2+2AODO\cos\gamma[/tex]
забелязваме, че [tex]AB^2+CD^2=AD^2+BC^2=30[/tex] и ги съкращаваме, с което ни остава
[tex]\cos\gamma (AOBO+BOCO+CODO+DOAO)=0[/tex], откъдето [tex]\cos\gamma=0\Right \gamma=90^\circ[/tex].
за б) трява да използваш, че [tex]S'=S\cos\varphi[/tex], където [tex]\varphi[/tex] е ъгълът между двете равнини, в случая 60°. Сега ако К и L са ти средите на АВ и АД остава да намериш лицето на KBDL и да го умножиш по дадения косинус. На мен обаче не ми се смята днес

[merili]

Относно а) има една формулка за изпъкнал четириъгълник:
AC[tex]\bot[/tex]BD <=>
AB ²+CD²=BC²+AD²

и в случея ни върши много хубава работа

[martosss]

Е ми аз все едно я доказвам

[naitsirk]

на мен ми се струва, че KBDL не е проекцията на сечението

[martosss]

[sssss]

ще може ли някой да реши б)
давана е на кандидатстудентски изпит, но не мога да я реша...