Регистрирайте се
Предишната тема :: Следващата тема |
Автор |
Съобщение |
Nona Напреднал
Регистриран на: 12 Sep 2006 Мнения: 477
гласове: 163
|
Пуснато на: Sun May 20, 2007 9:57 am Заглавие: |
|
|
P3:
Description: |
|
Големина на файла: |
6.71 KB |
Видяна: |
3346 пъти(s) |
|
|
|
Върнете се в началото |
|
|
Реклама
|
Пуснато на: Заглавие: Реклама |
|
|
|
|
Върнете се в началото |
|
|
Titu_Andrescu Напреднал
Регистриран на: 28 Oct 2006 Мнения: 370
гласове: 29
|
Пуснато на: Sun May 20, 2007 12:11 pm Заглавие: |
|
|
1. Magi - ( 46 + 8 )т.;
2. Toni_89 - 41т.;
3. Belov - 7т.;
4. Lubo - 5т.;
5. Ralyyy - 5т.;
6. BG Yoda - 3т.;
7. Veliko - 1т.
P5. Да се намерят всички естествени числа x,y,z, за които:
x3+y2+z=xyz и x=(y,z).
7 точки
x=(y,z) означава, че x e най-големия общ делител на y и z.
|
|
Върнете се в началото |
|
|
Tony_89 Фен на форума
Регистриран на: 04 Jul 2006 Мнения: 563 Местожителство: София гласове: 29
|
Пуснато на: Sun May 20, 2007 12:29 pm Заглавие: |
|
|
Как така х е най-голямото общо кратно на y и z, няма такова нещо като най-голямо общо кратно
|
|
Върнете се в началото |
|
|
Titu_Andrescu Напреднал
Регистриран на: 28 Oct 2006 Мнения: 370
гласове: 29
|
Пуснато на: Sun May 20, 2007 12:41 pm Заглавие: |
|
|
x=(y,z): y=x.y', z=x.z', където (y',z')=1.
|
|
Върнете се в началото |
|
|
Boyan Начинаещ
Регистриран на: 29 Apr 2007 Мнения: 21
гласове: 2
|
Пуснато на: Sun May 20, 2007 1:05 pm Заглавие: |
|
|
той има впредвид че се казва най- голям общ делител
|
|
Върнете се в началото |
|
|
Titu_Andrescu Напреднал
Регистриран на: 28 Oct 2006 Мнения: 370
гласове: 29
|
Пуснато на: Sun May 20, 2007 2:38 pm Заглавие: |
|
|
Лелееее, верно че се казваше така. Изложих се.
Нищо, поправих условието.
|
|
Върнете се в началото |
|
|
veliko Начинаещ
Регистриран на: 18 Mar 2007 Мнения: 34
|
Пуснато на: Tue May 22, 2007 9:57 pm Заглавие: |
|
|
хора кои са тия програми на които пишете задачите? Въпроса ми е най-вече за алгебрата, имам Geonext ама нз що като сложа някой ъгъл и почва да лаги компа адски.
|
|
Върнете се в началото |
|
|
krassi_holmz Редовен
Регистриран на: 05 Jan 2006 Мнения: 146 Местожителство: Ню Йорк, BG гласове: 18
|
Пуснато на: Wed May 23, 2007 6:38 pm Заглавие: |
|
|
Аз ползвам Mathematica от миналата година - супер програма. Само трябва малко време да свикнеш със синтаксиса, после ще ти стане приятен.
|
|
Върнете се в началото |
|
|
krassi_holmz Редовен
Регистриран на: 05 Jan 2006 Мнения: 146 Местожителство: Ню Йорк, BG гласове: 18
|
|
Върнете се в началото |
|
|
Titu_Andrescu Напреднал
Регистриран на: 28 Oct 2006 Мнения: 370
гласове: 29
|
Пуснато на: Wed Jun 27, 2007 8:23 pm Заглавие: |
|
|
1. Magi - 54т.;
2. Toni_89 - 41т.;
3.krassi_holmz - 7т.; Belov - 7т.;
4. Lubo - 5т.; Ralyyy - 5т.;
5. BG Yoda - 3т.;
6. Veliko - 1т.
|
|
Върнете се в началото |
|
|
Мирослав Стоенчев Напреднал
Регистриран на: 21 Aug 2007 Мнения: 279
гласове: 45
|
Пуснато на: Sun Sep 16, 2007 8:55 am Заглавие: |
|
|
Олимпиадата за участници във форума се възобновява, важат същите правила посочени от
Тити Андреску.Задачите които давам са мои авторски, ще служат като подготовка за участието Ви в Националната Олимпиада по Математика през 2008г.Успех!
|
|
Върнете се в началото |
|
|
Мирослав Стоенчев Напреднал
Регистриран на: 21 Aug 2007 Мнения: 279
гласове: 45
|
Пуснато на: Sun Sep 16, 2007 11:29 am Заглавие: |
|
|
Задача 1. Нека АBCD е четириъгълник вписан в окръжност, АBxCD=E, ADxBC=F, M и N са среди съответно на диагоналите АC и BD.Да се докаже,че:
а) Ъглополовящите на ъглите АFB и AED са взаимно перпендикулярни и се пресичат в точка(К) принадлежаща на отсечката МN.
б)КM/KN=АC/BD
Задача 2. Да се докаже,че уравнението
a2+b2+c2=2007d2
няма решения в цели числа, освен (0,0,0,0).
Задача 3. Множеството An={1,2,...,n} ще наричаме квадратично,ако съществуват множества B и C за които:
1)Сечението на B и C е празното множество.
2)Обединението на B и C е множеството Аn
3)Сумата от квадратите на елементите на B е равна на сумата от квадратите на елеметите на C
Да се намерят всички n за които An е квадратично множество.
Време за работа - 5 дни.Всяка задача се оценява със 7 точки.
Изпращайте решения до мен под формата на лични съобщения,резултати относно 1-та
тема -в Петък.
|
|
Върнете се в началото |
|
|
Tony_89 Фен на форума
Регистриран на: 04 Jul 2006 Мнения: 563 Местожителство: София гласове: 29
|
Пуснато на: Sun Sep 16, 2007 1:54 pm Заглавие: |
|
|
Интересни задачки
|
|
Върнете се в началото |
|
|
Мирослав Стоенчев Напреднал
Регистриран на: 21 Aug 2007 Мнения: 279
гласове: 45
|
Пуснато на: Mon Sep 17, 2007 3:28 pm Заглавие: |
|
|
Задача 3. Упътване: (k+3)2-(k+2)2-(k+1)2+k2=4.
|
|
Върнете се в началото |
|
|
Мирослав Стоенчев Напреднал
Регистриран на: 21 Aug 2007 Мнения: 279
гласове: 45
|
Пуснато на: Tue Sep 18, 2007 4:17 pm Заглавие: |
|
|
Резултати и решения на задачите от 1-та тема -този Четвъртък.Идеи по задачите също се точкуват,така,че изпращайте и частичните си резултати.
Тема 2
Задача 4. Нека c≥4/31/2 е реален параметър.
Да се докаже,че уравнението c4x4-4c2x3+2c2x2-4x-3=0
има точно два реални корена, по-големият от които принадлежи на интервала [4/c2,2/c).
Задача 5. Във вътрешността на остроъгълен триъгълник ABC са избрани точките X и Y,такива,че ъгъл(XAB)=ъгъл(XBC)=ъгъл(XCA)=θ и ъгъл(YAC)=ъгъл(YCB)=ъгъл(YBA)=γ.
Да се докаже,че:
а)θ=γ
б)ъгъл(XOY)=2θ, където точка О е център на описаната окръжност около тригълника ABC.
Задача 6. Нека a,b,c са реални положителни числа, като ab+bc+ca=1.
Да се докаже неравенството [(a2+1)(b2+1)(c2+1)]1/2[a+b+c+(a2+1)1/2+(b2+1)1/2+(c2+1)1/2]≥8.
Време за работа-10 дни.
|
|
Върнете се в началото |
|
|
Мирослав Стоенчев Напреднал
Регистриран на: 21 Aug 2007 Мнения: 279
гласове: 45
|
Пуснато на: Thu Sep 20, 2007 2:15 pm Заглавие: |
|
|
Решения на задачите от Тема 1.
Задача 1. Маги и Тони могат да запишат решенията си.
Задача 2. Д-во. Б.о.о. ще считаме,че а,b,c,d са неотрицателни.Да допуснем,че съществува ненулево решение (а,b,c,d) на a2+b2+c2=2007d2, като d е минимално.Тогава d>0.
1сл. d-четно.
Тогава 4 дели a2+b2+c2, което е възможно само при четни а,b,c, защото за всяко n имаме n2≡0(mod 4) или n2≡1(mod 4).Taka a=2a1,b=2b1,c=2c1,d=2d1.Получихме
четворка (a1,b1,c1,d1), която е решение на диофантовото уравнение и d1=d/2<d.Противоречие с избора на d.
2сл. d-нечетно.
За всяко цяло n имаме: n2≡0,1 или 4[mod 8], освен това 2007≡-1[mod 8] и
d2≡(2t+1)2≡4t(t+1)+1≡1[mod 8].Taka 2007d2≡-1[mod 8]. Но a2+b2+c2≡r1+r2+r3[mod 8], ri принадлежи на множеството {0,1,4}.
Но r1+r2+r3≡-1[mod 8] е невъзможно.Противоречие.Така единственото целочислено решение е (0,0,0,0).
Задача 3. Тук дадох упътване, използвайте и формулата 12+22+...+n2=n(n+1)(2n+1)/6
за да определите вида на възможните решения, т.е. 4 дели n(n+1)(2n+1) --> n?.
За тази задача получавате още няколко дни за размисъл.
Временно класиране:
1.Тони - 14 точки
2.Маги - 7 точки
3.martosss- 3 точки
|
|
Върнете се в началото |
|
|
Nona Напреднал
Регистриран на: 12 Sep 2006 Мнения: 477
гласове: 163
|
Пуснато на: Thu Sep 20, 2007 8:17 pm Заглавие: |
|
|
|
|
Върнете се в началото |
|
|
Tony_89 Фен на форума
Регистриран на: 04 Jul 2006 Мнения: 563 Местожителство: София гласове: 29
|
Пуснато на: Fri Sep 21, 2007 5:49 am Заглавие: |
|
|
|
|
Върнете се в началото |
|
|
Мирослав Стоенчев Напреднал
Регистриран на: 21 Aug 2007 Мнения: 279
гласове: 45
|
Пуснато на: Fri Sep 28, 2007 12:36 pm Заглавие: |
|
|
Временно класиране:
1.АДаскалов - 21т
2.Тони -14т
3.Маги - 7т
4.Мартос - 3т
Решения на задачите от Тема 2 и задача 3 от Тема 1 - тази Събота.
Тема 3
Задача 1. Даден е остроъгълен триъгълник АBC, CA≠CB.Да се докаже,че центровете на вписаната и описаната окръжности на триъгълника и петата на височината от C към
АB, лежат на една права, тогава и само тогава,когато R=rc.(R и rc - са съответно радиусите на описаната и външновписаната за ъгъл ACB окръжности).
Задача 2. Да се докаже,че съществува строго растяща редица {an} от естествени числа, като за всяко n≥1 e в сила:
1) an≤n4
2) an е точен квадрат на естествено число
3) an+1-an е точен куб на естествено число
Задача 3. Да се намерят всички тройки (p,q,r) от естествени числа, като p и q са прости и (r2+pr+1)[r2+(p2-q)r-p]=pq.
|
|
Върнете се в началото |
|
|
Мирослав Стоенчев Напреднал
Регистриран на: 21 Aug 2007 Мнения: 279
гласове: 45
|
Пуснато на: Sat Sep 29, 2007 8:52 am Заглавие: |
|
|
Задача 3.Решенa e oт АДаскалов:
Задача 4. Решение на АДаскалов:
Нека c4x4-4c2x3+2c2x2-4x-3=f(x).
Тогава имаме, че когато х клони към плюс и минус безкрайност f(x) клони към плюс безкрайност, защото с>0. Освен това f(0)=-3<0 => условието f(x)=0 да има точно два реални корена би било изпълнено, ако f'(x)=0 има точно един реален корен.
f'(x)=4c4x3-12c2x2+4c2x-4
Имаме, че когато х клони към плюс и минус безкрайност f'(x) клони съответно към плюс и минус безкрайност, защото с>0.
=> условието f'(x)=0 да има точно един реален корен би било изпълнено,ако f''(x)=0 няма реални корени.
f''(x)=12c4x2-24c2x+4c2=
= 12(c2x-1)2+4c2-12
Но 4c2>12 => f''(x)>0 за всяко х и тогава f(x)=0 има точно два реални корена.
Имаме, че f(4/c2)=16/c2-3≤0 и
f(2/c)=21-40/c>0 => по-големия корен на f(x) е от интервала [4/c2;2/c)
|
|
Върнете се в началото |
|
|
Мирослав Стоенчев Напреднал
Регистриран на: 21 Aug 2007 Мнения: 279
гласове: 45
|
Пуснато на: Sat Sep 29, 2007 9:03 am Заглавие: |
|
|
Задача 5. Решена е от Тони и АДаскалов.Тони запиши решението си.
Задача 6. Решение на АДаскалов:
Първо ще докажем, две тригонометрични тъждества като и в двете приемаме, че x,y и z са ъгли на триъгълник.
1) ctgx*ctgy + ctgy*ctgz+ctgz*ctgx=1 <=>
cosx*cosy*sinz+cosx*siny*cosz+sinx*cosy*cosz=sinx*siny*sinz<=>
cosx(cosy*sinz+siny*cosz)=sinx(siny*sinz-cosy*cosz)<=>
cosx*sin(y+z)=-sinx*cos(y+z)<=>
cosx*sinx=cosx*sinx защото x+y+z=180° с което тъждеството е доказано.
2) sin(2x)+sin(2y)+sin(2z) = 4sinx*siny*sinz
Имаме, че sin(2x)+sin(2y)+sin(2z)=-sin(2y+2z)+sin(2y)+sin(2z) =
=sin(2y)-sin(2y)cos(2z)+sin(2z)-cos(2y)sin(2z)=sin(2y)(1-cos(2z))+sin(2z)(1-cos(2y))=
=4siny*cosy*sin2z+4sinz*cosz*sin2y=
=4siny*sinz(cosy*sinz+siny*cosz)=4siny*sinz*sin(y+z)=4sinx*siny*sinz
и второто тъждество е доказано.
Тогава от 1) получаваме, че в задачата може да положим a=ctgx b=ctgy c=ctgz, където x,y и z са ъгли на триъгълник.
Неравенството, което трябва да докажем е еквивалентно на
(ctgx+ctgy+ctgz+1/sinx+1/siny+1/sinz)/(sinx*siny*sinz)≥8 <=>
ctgx+ctgy+ctgz+1/sinx+1/siny+1/sinz≥8sinx*siny*sinz което от 2) е еквивалентно на
ctgx+ctgy+ctgz+1/sinx+1/siny+1/sinz≥2sin(2x)+2sin(2y)+2sin(2z) <=>
(ctgx-2sin(2x)+1/sinx)+(ctgy-2sin(2y)+1/siny)+(ctgz-2sin(2z)+1/sinz)≥0
Сега е достатъчно да покажем, че за произволен ъгъл х 0°<х<180°
ctgx-2sin(2x)+1/sinx≥0 <=>
cosx -4sin2xcosx+1≥0 <=>
cosx -4(1-cos2x)cosx+1≥0 <=>
4cos3x-3cosx+1≥0 <=>
(cosx+1)(2cosx-1)2≥0 което очевидно е изпълнено и задачата е доказана.
|
|
Върнете се в началото |
|
|
Nona Напреднал
Регистриран на: 12 Sep 2006 Мнения: 477
гласове: 163
|
Пуснато на: Sat Sep 29, 2007 9:11 am Заглавие: |
|
|
5. а)
Description: |
|
Големина на файла: |
40.67 KB |
Видяна: |
2705 пъти(s) |
|
|
|
Върнете се в началото |
|
|
Tony_89 Фен на форума
Регистриран на: 04 Jul 2006 Мнения: 563 Местожителство: София гласове: 29
|
Пуснато на: Sat Sep 29, 2007 9:37 am Заглавие: |
|
|
|
|
Върнете се в началото |
|
|
Мирослав Стоенчев Напреднал
Регистриран на: 21 Aug 2007 Мнения: 279
гласове: 45
|
Пуснато на: Sat Sep 29, 2007 9:39 am Заглавие: |
|
|
Задача 6. Втори начин - изкуствен, но си заслужава да се знае.
От ab+bc+ca=1 => a2+1=a2+ab+bc+ca=(a+b)(a+c)
Аналогично - b2+1=(b+a)(b+c); c2+1=(c+a)(c+b).
Умножаваме с 2 изходното неравенство и получаваме:
(a+b)(b+c)(c+a)[(a+b)+(b+c)+(c+a)+2(a+b)1/2(a+c)1/2+2(b+a)1/2(b+c)1/2+2(c+a)1/2(c+b)1/2]
≥16. Да положим - u=(a+b)1/2, v=(b+c)1/2, w=(c+a)1/2. Tака неравенството е еквивалентно на uvw(u+v+w)≥4.
Съществува триъгълник със страни u,v и w, лицето на който е S=(1/4)[2(u2v2+v2w2+w2u2)-(u4+v4+w4)]1/2=1/2.
От r(u+v+w)/2=S=uvw/4R и S=1/2 => 2r=2/u+v+w, R=uvw/2. Като приложим известното неравенство R≥2r =>uvw/2≥2/u+v+w => uvw(u+v+w)≥4.
|
|
Върнете се в началото |
|
|
Мирослав Стоенчев Напреднал
Регистриран на: 21 Aug 2007 Мнения: 279
гласове: 45
|
Пуснато на: Sat Sep 29, 2007 11:07 am Заглавие: |
|
|
Тема 4
Задача 4. В равнината са дадени окръжност k и права p допиращи се в точка F.Нека Q принадлежи на p, Q≠F.Означаваме с Т множеството от триъгълници ABC, чийто върхове А и B лежат върху p, като k е вписана окръжност за триъгълника ABC, а точка Q лежи на правата минаваща през допирните точки на k със CA и CB.
Да се намери ГМТ на върховете C на триъгълниците от Т.
Задача 5. Нека n>1 е естествено число.Да се докаже,че съществуват безбройно много двойки (a,b) от естествени числа, за които числото [(2a+1)2+(2b+1)2]/2n2(a2+b)+1
e цяло.
Задача 6. [tex]ABCD[/tex] е четириъгълник с полупериметър [tex]p,[/tex] който е вписан в окръжност [tex]k(O,R)[/tex] и описан около окръжност [tex]w(I,r).[/tex] Нека [tex]|AC|=e,\ |BD|=f.[/tex]
Да се докаже, че [tex]0\le 2p^2-(e+f)^2\le 4R^2-\frac{r^2}{R^2}\left\(r+\sqrt{4R^2+r^2}\right\)^2.[/tex]
Време за работа по Тема 3 и 4 - 10 дни.
|
|
Върнете се в началото |
|
|
Мирослав Стоенчев Напреднал
Регистриран на: 21 Aug 2007 Мнения: 279
гласове: 45
|
Пуснато на: Sun Sep 30, 2007 9:24 am Заглавие: |
|
|
В Тема 3 - задача 3 съм допуснал грешка, т.е. уравнението е: (r2+pr+1)[r2+(p2-q)r-p]=pq.
T.е. знака пред (p2-q) е +, а не "-" както го бях записал погрешно.
Извинявам се много за неточността, днес поправих условието задачата.
|
|
Върнете се в началото |
|
|
Мирослав Стоенчев Напреднал
Регистриран на: 21 Aug 2007 Мнения: 279
гласове: 45
|
Пуснато на: Mon Oct 01, 2007 5:01 pm Заглавие: |
|
|
Тема 5
Задача 1. Нека n и k са естествени числа, като n≥k≥3.Да се намери броя на k-членните аритметични прогресии, които са подмножества на {1,2,...,n}.
Задача 2. ABCD е вписан в окръжност четириъгълник, като |AB|=|BC|+|DA| и <A+<B<180°.Да се докаже, че ъглополовящите на <C и <D се пресичат в точка от отсечката АB.
Задача 3. Нека x,y,z са естествени числа удовлетворяващи равенството xy+yz=zx.
a)Да се докаже,че 8 дели поне едно от числата x+1, y-1, z-1
б)Ако z е четно и 8 не дели x+1, да се определят x,y и z.
|
|
Върнете се в началото |
|
|
Мирослав Стоенчев Напреднал
Регистриран на: 21 Aug 2007 Мнения: 279
гласове: 45
|
Пуснато на: Mon Oct 01, 2007 5:04 pm Заглавие: |
|
|
Временно класиране:
1 АДаскалов - 35т
2 Тони - 17т
3 Маги - 16т
4 Мартос - 3т
|
|
Върнете се в началото |
|
|
Мирослав Стоенчев Напреднал
Регистриран на: 21 Aug 2007 Мнения: 279
гласове: 45
|
Пуснато на: Fri Oct 05, 2007 8:04 pm Заглавие: |
|
|
Решения на задачите от Тема 3 - тази Неделя.
Временно класиране:
1 АДаскалов - 35т
2 Маги - 30т
3 Тони - 18т
4 Мартос - 3т
|
|
Върнете се в началото |
|
|
Мирослав Стоенчев Напреднал
Регистриран на: 21 Aug 2007 Мнения: 279
гласове: 45
|
Пуснато на: Sun Oct 07, 2007 11:21 am Заглавие: |
|
|
Решения на задачите от Тема 3
Задача 2. Решена е от АДаскалов и Маги. Маги можеш да запишеш решението си.
Задача 3. Тази задача бе почти напълно решена от Тони.
Понеже p,q са прости числа и r2+pr+1>p>1, то имаме следните 2 случая:
1сл. r2+pr+1=q и r2+(p2-q)r-p=p
Oт 2-то уравнение получаваме 2p=r(r+p2-q) => r|2p => r=1,2 или p.
1.1 r=1 => q=(p-1)2 - не е възможно q да бъде просто и точен квадрат
1.2 r=2 => q=p2-p+2 => 2|q => q=2, p=1 - не е просто
1.3 r=p => q=p2+p-2 => 2|q => q=2, p(p+1)=4 -невъзможно
2сл. r2+pr+1=pq и r2+(p2-q)r-p=1
2.1 p=2 => 2q=(r+1)2 => 2|q => q=2 => r=1. Tака (p,q,r)=(2,2,1) е решение.
2.2 p - нечетно просто число. Умножаваме с -1 второто уравнение и го събираме с 1-то:
(p+q-p2)r+1+p=pq-1 => (p+q-p2)r=pq-p-2=p(q-1)-2≥p-2≥1 =>q+p-p2>0 => q>p2-p>p => q е нечетно число.
Да разгледаме уравнението x2+(p2-q)x-p-1=0. Знаем,че то има за корен естественото число r, нека s е неговия втори корен. Тогава r+s = q-p2, rs=-(p+1) => s e цяло число. Но q,p - са нечетни => q-p2 е четно => r+s е четно => r,s от една и съща четност. Но rs = -(p+1) е четно => r,s са четни. Тогава от r2+(p2-q)r-p=1 => r2+(p2-q)r=p+1 => 4|p+1 => p=4k-1=4v+3 => p e простo число от вида 4v+3.
Накрая от 1-то уравнение получаваме r2+pr+1=pq => p|r2+pr+1 => p|r2+1 и понеже p=4v+3 е просто,което дели сумата от квадратите на 2 естествени числа, то p дели всяко от тях, т.е. p|r и p|1 -невъзможно. Така 2сл p-нечетно е невъзможен. Доказахме,че единственото решение на задачата е (p,q,r)=(2,2,1).
|
|
Върнете се в началото |
|
|
|
|
Не Можете да пускате нови теми Не Можете да отговаряте на темите Не Можете да променяте съобщенията си Не Можете да изтривате съобщенията си Не Можете да гласувате в анкети Може да прикачвате файлове Може да сваляте файлове от този форум
|
|