Регистрирайте сеРегистрирайте се

Интересно неравенство за доказване


 
   Форум за математика Форуми -> Неравенства
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
FuckYouAll
Редовен


Регистриран на: 27 Feb 2009
Мнения: 165


гласове: 16

МнениеПуснато на: Thu Jun 04, 2009 8:09 pm    Заглавие: Интересно неравенство за доказване

Да се докаже:

[tex]\sqrt[n]{n!} \ge \sqrt{n} [/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
mkmarinov
Напреднал


Регистриран на: 08 Nov 2008
Мнения: 358
Местожителство: Враца
Репутация: 46.2Репутация: 46.2Репутация: 46.2Репутация: 46.2Репутация: 46.2
гласове: 32

МнениеПуснато на: Thu Jun 04, 2009 10:08 pm    Заглавие:

Повдигаме на степен 2n и получаваме:
[tex](n!)^2 \ge n^n[/tex]
Което ще го доказваме чрез индукция.
1) За n=1,2,3 - установяваме, че е вярно.
2) Приемаме, че е вярно за n=k.
3) n=k+1:
[tex]((k+1)!)^2 \ge (k+1)^{(k+1)}[/tex]
[tex](k!)^2.(k+1)^2 \ge (k+1)^k.(k+1) /: (k+1) [/tex]
[tex](k!)^2.(k+1) \ge (k+1)^k /:[/tex]
Използвайки приетото в 2) =>
[tex](k!)^2.(k+1) \ge k^k.(k+1)[/tex]
И остава да докажем, че [tex]k^k.(k+1) \ge (k+1)^k[/tex]
[tex]k+1 \ge (1+\frac{1}{k})^k[/tex]
За k>1 лявата страна е > неперовото число. Проверяваме за к=1 и имаме равенство. Следва, че допуснатото твърдение е вярно.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
krainik
Фен на форума


Регистриран на: 01 May 2009
Мнения: 697

Репутация: 51.8
гласове: 44

МнениеПуснато на: Fri Jun 05, 2009 7:25 am    Заглавие:

От това неравенство се получава следната доста слаба, но пък красива оценка за [tex]n![/tex]:
[tex]\sqrt{n^n}\le n!\le n^n[/tex], като равенства от ляво има само за [tex]n=1,2[/tex], а от дясно за [tex]n=1[/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
FuckYouAll
Редовен


Регистриран на: 27 Feb 2009
Мнения: 165


гласове: 16

МнениеПуснато на: Fri Jun 05, 2009 10:46 am    Заглавие:

mkmarinov написа:
Повдигаме на степен 2n и получаваме:
[tex](n!)^2 \ge n^n[/tex]
Което ще го доказваме чрез индукция.
1) За n=1,2,3 - установяваме, че е вярно.
2) Приемаме, че е вярно за n=k.
3) n=k+1:
[tex]((k+1)!)^2 \ge (k+1)^{(k+1)}[/tex]
[tex](k!)^2.(k+1)^2 \ge (k+1)^k.(k+1) /: (k+1) [/tex]
[tex](k!)^2.(k+1) \ge (k+1)^k /:[/tex]
Използвайки приетото в 2) =>
[tex](k!)^2.(k+1) \ge k^k.(k+1)[/tex]
И остава да докажем, че [tex]k^k.(k+1) \ge (k+1)^k[/tex]
[tex]k+1 \ge (1+\frac{1}{k})^k[/tex]
За k>1 лявата страна е > неперовото число. Проверяваме за к=1 и имаме равенство. Следва, че допуснатото твърдение е вярно.


Точно метода на математическа индукция трябваше да се сетя. Благодаря за труда.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
krainik
Фен на форума


Регистриран на: 01 May 2009
Мнения: 697

Репутация: 51.8
гласове: 44

МнениеПуснато на: Fri Jun 05, 2009 11:16 am    Заглавие:

Неравенства от този вид почти винаги излизат с индукция Wink Ако искаш за упражнение пробвай и това: [tex]\frac{4^n}{n+1}<\frac{(2n)!}{(n!)^2}[/tex] за [tex]\forall n\ge 2[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martin.nikolov
Напреднал


Регистриран на: 22 Apr 2009
Мнения: 489

Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5
гласове: 21

МнениеПуснато на: Fri Jun 05, 2009 7:28 pm    Заглавие:

Може и без индукция. Записваш го така

[tex]n(n-1)\cdots 1 \ge \sqrt{n}\cdots \sqrt{n}[/tex].

И използваш, че [tex](n-k+1)k\ge \sqrt{n}\sqrt{n}[/tex], за [tex]1\le k \le n-1[/tex]. Което се доказва лесно.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Saposto_MM
Напреднал


Регистриран на: 02 Apr 2007
Мнения: 383
Местожителство: Панагюрище
Репутация: 124.4
гласове: 67

МнениеПуснато на: Sat Jun 13, 2009 11:09 am    Заглавие:

Оценка отгоре:
[tex]n!\le \sqrt{\left(\frac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{6}\right)^{n}}[/tex] за [tex]n\in\mathbb{N}[/tex].
Ирландска олимпиада 1995г.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Неравенства Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
You cannot attach files in this forum
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.