Интересно неравенство за доказване

[FuckYouAll]

Да се докаже:

[tex]\sqrt[n]{n!} \ge \sqrt{n} [/tex]

[Реклама]

[mkmarinov]

Повдигаме на степен 2n и получаваме:
[tex](n!)^2 \ge n^n[/tex]
Което ще го доказваме чрез индукция.
1) За n=1,2,3 - установяваме, че е вярно.
2) Приемаме, че е вярно за n=k.
3) n=k+1:
[tex]((k+1)!)^2 \ge (k+1)^{(k+1)}[/tex]
[tex](k!)^2.(k+1)^2 \ge (k+1)^k.(k+1) /: (k+1) [/tex]
[tex](k!)^2.(k+1) \ge (k+1)^k /:[/tex]
Използвайки приетото в 2) =>
[tex](k!)^2.(k+1) \ge k^k.(k+1)[/tex]
И остава да докажем, че [tex]k^k.(k+1) \ge (k+1)^k[/tex]
[tex]k+1 \ge (1+\frac{1}{k})^k[/tex]
За k>1 лявата страна е > неперовото число. Проверяваме за к=1 и имаме равенство. Следва, че допуснатото твърдение е вярно.

[krainik]

От това неравенство се получава следната доста слаба, но пък красива оценка за [tex]n![/tex]:
[tex]\sqrt{n^n}\le n!\le n^n[/tex], като равенства от ляво има само за [tex]n=1,2[/tex], а от дясно за [tex]n=1[/tex].

[FuckYouAll]

[krainik]

Неравенства от този вид почти винаги излизат с индукция Ако искаш за упражнение пробвай и това: [tex]\frac{4^n}{n+1}<\frac{(2n)!}{(n!)^2}[/tex] за [tex]\forall n\ge 2[/tex]

[martin.nikolov]

Може и без индукция. Записваш го така

[tex]n(n-1)\cdots 1 \ge \sqrt{n}\cdots \sqrt{n}[/tex].

И използваш, че [tex](n-k+1)k\ge \sqrt{n}\sqrt{n}[/tex], за [tex]1\le k \le n-1[/tex]. Което се доказва лесно.

[Saposto_MM]

Оценка отгоре:
[tex]n!\le \sqrt{\left(\frac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{6}\right)^{n}}[/tex] за [tex]n\in\mathbb{N}[/tex].
Ирландска олимпиада 1995г.