Регистрирайте сеРегистрирайте се

За Националния кръг :?

Иди на страница Предишна  1, 2
 
   Форум за математика Форуми -> Задача на седмицата
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
martin.nikolov
Напреднал


Регистриран на: 22 Apr 2009
Мнения: 489

Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5
гласове: 21

МнениеПуснато на: Mon Jun 01, 2009 10:17 pm    Заглавие:

ins- написа:
Не ми се търси, но ако използваш google би могъл да намериш това, което те интересува.


Как?!
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
ins-
Фен на форума


Регистриран на: 03 Oct 2007
Мнения: 567
Местожителство: Роман, София
Репутация: 56.6
гласове: 28

МнениеПуснато на: Mon Jun 01, 2009 10:22 pm    Заглавие:

http://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_curve e първото, което ми попадна, когато написах elliptic curve ... можеш да комбинираш с equation и number theory ... ако наистина те интересува - ще намериш информация, а има хора тук, които вероятно са по-запознати, ако не намериш - попитай и в други форуми, а си има и книги, библиотеки и т.н.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martin.nikolov
Напреднал


Регистриран на: 22 Apr 2009
Мнения: 489

Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5
гласове: 21

МнениеПуснато на: Mon Jun 01, 2009 10:25 pm    Заглавие:

ins- написа:
http://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_curve e първото, което ми попадна, когато написах elliptic curve ... можеш да комбинираш с equation и number theory ... ако наистина те интересува - ще намериш информация, а има хора тук, които вероятно са по-запознати, ако не намериш - попитай и в други форуми, а си има и книги, библиотеки и т.н.


Аз много добре знам каво са елиптичните криви. Даже смятам, че знам много за тях. Въпроса ми беше как дадената задача се свързва с елиптичните криви.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ганка симеонова
SUPER VIP


Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
Репутация: 618.5Репутация: 618.5Репутация: 618.5
гласове: 298

МнениеПуснато на: Tue Jun 02, 2009 9:31 am    Заглавие:

ins- написа:
Ще станат много задачи една след друга и се губи смисъла ... затова, но щом искате - пускам я. Задачата е следната:

За кои цели стойности на [tex]m[/tex] израза: [tex]7m^2 + 10m - 8[/tex] е точен квадрат на цяло число?

Публикувана е в рубриката "Задачи" на списание "Математика и информатика" през 1996 с автор Емануил Ясиновий - Арад, Израел. Беше решена грешно от Иван Тонов, известен български математик, от който съм виждал много добри задачи.
След това я публикувах като студент в списание "Математически форум", където отново беше некоректно решена отново.
За задачата знам, че може да се реши с уравнение на Пел, а и вероятно с елиптични криви, но не ги познавам като материал. Доказвал съм, че има безброй много решения и съм намирал формули за тях, но така и не успях да обединя намерените формули в една.

А kazakov111 призна грешката си, но не е имал време да го напише.

Това е доста интересна тема и може би ins има право. Значи, съвсем скоро четох за елиптичните криви
Сега нямам време, защото отивам на работа, но довечера ще пусна нещо по темата, която четох. Много е интересна Very Happy
Лично аз не съм запозната с тях, но статията ми направи впечатление.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
dgs
Редовен


Регистриран на: 23 Jun 2008
Мнения: 228

Репутация: 25Репутация: 25Репутация: 25
гласове: 13

МнениеПуснато на: Wed Jun 03, 2009 10:29 am    Заглавие:

ins- написа:
Имам леки съмнения, че при така поставеното условие задачата е неопределена и затова е толкова трудна за решаване. Ако това бъде доказано - пак се брои за решение. А kazakov111 имаше нещо друго в предвид вероятно, а не че триъгълниците са еднакви ...

Извинявам се ... вероятно си е определена, защото бях доказал преди време с помощта на алгебрични средства, че задачата има < 4 решения.


Има елементарен пример за конкретни A и B, при който има четири различни решения лесно построими с линийка и пергел.
Примера е описван във форума за сходно построение, но става за задачата:
1. Дадени са окръжност k(O, r) и отсечка AB. Да се построят с линийка и пергел всички точки от окръжността М, за които правата OM e ъглополовяща на <AMB.

Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ins-
Фен на форума


Регистриран на: 03 Oct 2007
Мнения: 567
Местожителство: Роман, София
Репутация: 56.6
гласове: 28

МнениеПуснато на: Wed Jun 03, 2009 9:31 pm    Заглавие:

dgs, не можах да разбера идеята ти. бях стигнал до уравнение от 4-та степен, което определяше ситуацията, като пиша все бързам и по-точно е да се каже ≤ 4 решения.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
dgs
Редовен


Регистриран на: 23 Jun 2008
Мнения: 228

Репутация: 25Репутация: 25Репутация: 25
гласове: 13

МнениеПуснато на: Wed Jun 03, 2009 11:23 pm    Заглавие:

Примера е със следните изисквания за точките A и B :
1. A и B са вътре в кръга
2. OA=OB
3. O, A и B не лежат на една права, т.е. през тия три точки може да се построи "втора" окръжност
4. Тая "втора" окръжност е достатъчно голяма и пресича първоначалната окръжност в две точки

Е, ако за конкретни A и B са изпълнени тия условия 1.2.3.4., то имаме четири отделни решения, т.е. има лесно построими четири различни точки M1, M2, M3 и M4 лежащи на първоначалната окръжност, които са решение на задачата.
Т.е.:
OM1 е ъглополовяща на <AM1B
OM2 е ъглополовяща на <AM2B
OM3 е ъглополовяща на <AM3B
OM4 е ъглополовяща на <AM4B

Тоя пример е от следната задача:
Дадена е окръжност. Дадени са две точки A и B вътре в окръжността. Да се построи вписан в окръжността равнобедрен триъгълник, такъв че, A и B да лежат на двете бедра на триъгълника.
И съответно примера е, че ако са изпълнени условията по-горе 1.2.3.4., то лесно се построяват четири такива триъгълника.

Аз лично съм малко скептичен че четирите решения ще следват от някакво уравнение от четвърта степен (разбира се може и да бъркам). По съм склонен да мисля, че четирите решения идват от две криви от втора степен (които трябва да намерим) и че решенията са пресечните точки (ако има такива) на тези криви с окръжността. А самите криви задължително минават през центъра на окръжността.
Поне така ми изглежда че стоят нещата при равнобедрения триъгълник.
Даже си мисля, за някакви сечения на повърхнини от втора степен и техните проекции ... ама нямам достатъчно капацитет за такива неща. За мое съжаление, всичко съм забравил и мога да се занимавам само любителски. ... Язък за шестиците при Иванова и Андрейчин, пък и не само за тия при тях.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
krainik
Фен на форума


Регистриран на: 01 May 2009
Мнения: 697

Репутация: 51.8
гласове: 44

МнениеПуснато на: Fri Jun 05, 2009 9:28 am    Заглавие:

ганка симеонова написа:

Сега нямам време, защото отивам на работа, но довечера ще пусна нещо по темата, която четох. Много е интересна Very Happy
Лично аз не съм запозната с тях, но статията ми направи впечатление.
Довечера мина, а лекцията я няма?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
zdrico
Начинаещ


Регистриран на: 10 Jun 2008
Мнения: 7
Местожителство: София
Репутация: 3.4Репутация: 3.4Репутация: 3.4

МнениеПуснато на: Fri Jun 05, 2009 9:46 am    Заглавие: re:

За третата задача...
1.приемаш си една координатна система в центъра на окръжността.
2. Търсиш точка М(х,y) х и у са неизвестните;
3. Първото уравнение което те удовлетворяват е това на окръжността x^2+y^2=R^2;
4. Второто идва от това че OM e ъглополовяща. и 2*<АМО=АМB
5. Използваш че тангенса на ъгъла между две прави с уравнения y=a1*x+b1 и y=a2*x+b2 през една точка e:
tan θ=(a2-a1)/(1-a2.a1)
намираш tan<АМО и tan<AMB
заместваш в tan 2θ=2*tanθ/(1-(tanθ)^2) от тук получаваш второто уравнение;
6. Решаваш системата;
Е май остава само някой да замести... Very Happy
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение Посетете сайта на потребителя
zdrico
Начинаещ


Регистриран на: 10 Jun 2008
Мнения: 7
Местожителство: София
Репутация: 3.4Репутация: 3.4Репутация: 3.4

МнениеПуснато на: Mon Jun 08, 2009 5:38 pm    Заглавие: Ето и едно съвсем по-просто решение на третата задача

Оставям отново удоволствието от заместването и решаването на системката на желаещи...
Лично аз бих заместил тук, а не в горното си предложение... Laughing Laughing Laughing
Все пак ако някой получи отговор може да го сподели Laughing
Също моля да ме извините, ако съм изпуснал някоя математическа подробност ,но все пак отдавна учих математика Laughing Laughing Laughing



reshenie.jpg
 Description:
 Големина на файла:  87.6 KB
 Видяна:  1941 пъти(s)

reshenie.jpg


Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение Посетете сайта на потребителя
zdrico
Начинаещ


Регистриран на: 10 Jun 2008
Мнения: 7
Местожителство: София
Репутация: 3.4Репутация: 3.4Репутация: 3.4

МнениеПуснато на: Mon Jun 08, 2009 8:54 pm    Заглавие: Ето и един числен пример

Със слабия компютър не успях да го реша параметрично, но прилагам числено примерче.
Впрочем и численото решение не е особенно лекичко Laughing Laughing Laughing , но на който му трябва си намира начин.... Laughing



primer.GIF
 Description:
 Големина на файла:  16.29 KB
 Видяна:  1918 пъти(s)

primer.GIF


Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение Посетете сайта на потребителя
ins-
Фен на форума


Регистриран на: 03 Oct 2007
Мнения: 567
Местожителство: Роман, София
Репутация: 56.6
гласове: 28

МнениеПуснато на: Tue Jun 09, 2009 1:46 am    Заглавие:

Благодаря за ценните идеи ... явно задачата не е лека.
Това е един от най-добрите опити за решение, които съм виждал.
Ще гледам да намеря време да го прегледам внимателно. Ако някой друг има идеи - да каже.
Как Ви се струва задачата? Добра ли е? Като красота, смисъл и ниво на сложност имам в предвид.
Very Happy Ако наистина се опира до машинна мощ ... разполагам с 4-ядрена машина, но надали ще е от полза ...
Ето и един друг опит за решение ... може да Ви е интересно:
http://dxdy.ru/topic9555.html
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
krainik
Фен на форума


Регистриран на: 01 May 2009
Мнения: 697

Репутация: 51.8
гласове: 44

МнениеПуснато на: Fri Jun 12, 2009 8:55 pm    Заглавие:

ганка симеонова написа:

Това е доста интересна тема и може би ins има право. Значи, съвсем скоро четох за елиптичните криви
Сега нямам време, защото отивам на работа, но довечера ще пусна нещо по темата, която четох. Много е интересна Very Happy
Лично аз не съм запозната с тях, но статията ми направи впечатление.
Има ли нужда да споменавам, че мина повече от седмица, а пък лекцията я няма ? Въобще да чакаме ли?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martin.nikolov
Напреднал


Регистриран на: 22 Apr 2009
Мнения: 489

Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5
гласове: 21

МнениеПуснато на: Fri Jun 12, 2009 9:04 pm    Заглавие:

krainik написа:
ганка симеонова написа:

Това е доста интересна тема и може би ins има право. Значи, съвсем скоро четох за елиптичните криви
Сега нямам време, защото отивам на работа, но довечера ще пусна нещо по темата, която четох. Много е интересна Very Happy
Лично аз не съм запозната с тях, но статията ми направи впечатление.
Има ли нужда да споменавам, че мина повече от седмица, а пък лекцията я няма ? Въобще да чакаме ли?


Темата е доста обширна и във форум не може да се напише нищо изчерпателно. Предполагам Ганка е подценила елиптичните криви. Все пак като се спомене даден тип криви, човек обикновено очаква страница две, а не дебели книги за този тип криви.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
krainik
Фен на форума


Регистриран на: 01 May 2009
Мнения: 697

Репутация: 51.8
гласове: 44

МнениеПуснато на: Fri Jun 12, 2009 9:12 pm    Заглавие:

И все пак малко е повече от нищо, нали? И.. , ако имате някаква лекция, написана на "по-разбираем" език я дайте насам (става и на английски, и в краен случай руски) Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martin.nikolov
Напреднал


Регистриран на: 22 Apr 2009
Мнения: 489

Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5
гласове: 21

МнениеПуснато на: Fri Jun 12, 2009 9:30 pm    Заглавие:

krainik написа:
И все пак малко е повече от нищо, нали? И , ако имате някаква лекция, написана на "по-разбираем" език я дайте насам (става и на английски и в краен случай руски) Wink


Ти найстина ли искаш да прочетеш нещо? Аз си мислех, че държиш сметка(с право) на Ганка за не спазени обещания.

Из интеренет е пълно с лекции по елиптични криви.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
krainik
Фен на форума


Регистриран на: 01 May 2009
Мнения: 697

Репутация: 51.8
гласове: 44

МнениеПуснато на: Fri Jun 12, 2009 9:34 pm    Заглавие:

Да, наистина искам да науча нещо за тях. Знам, че в Интернет има много лекции, но, както казах, търся нещо на по-разбираем език като за човек, който не се е занимавал с висша математика, а е ученик и най вече любител).
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martin.nikolov
Напреднал


Регистриран на: 22 Apr 2009
Мнения: 489

Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5
гласове: 21

МнениеПуснато на: Fri Jun 12, 2009 9:47 pm    Заглавие:

krainik написа:
Да, наистина искам да науча нещо за тях. Знам, че в Интернет има много лекции, но, както казах, търся нещо на по-разбираем език като за човек, който не се е занимавал с висша математика, а е ученик и най вече любител).


Твърде голямо изискване имаш за 'разбираем език'.

Ето няколко добри книги. Първата е на най-елементарно ниво.

http://www.2shared.com/file/6272594/cdbd0236/Silverman_J_Tate_J_Rational_points_on_elliptic_curves__Springer_UTM_1992__600dpi__T__ISBN_3540978259__296s__MT_.html

http://www.2shared.com/file/6272601/6e53f3a9/milne-elliptic_curves.html

http://www.2shared.com/file/6272609/60887b9b/0387094938.html


Долу в дчсно на прозореца има бутон за свалянето на файла. Пише: Save file to your PC: click here
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
insight
Начинаещ


Регистриран на: 02 Apr 2008
Мнения: 14

Репутация: 9.3Репутация: 9.3Репутация: 9.3Репутация: 9.3Репутация: 9.3Репутация: 9.3Репутация: 9.3Репутация: 9.3Репутация: 9.3
гласове: 3

МнениеПуснато на: Thu Oct 29, 2009 3:36 pm    Заглавие:

ins- написа:
Ок ... пускам задачата в няколко разновидности по множество причини - за яснота и защото може да не е построимо това, което се иска с линийка и пергел.

2. Дадени са окръжност k(O, r) и отсечка AB. Да се намери геометричното място на точките от окръжността М, за които правата OM e ъглополовяща на <AMB.



Ще докажем, че има точно две точки [tex]M[/tex] от окръжността [tex]k[/tex], за които [tex]OM[/tex] e ъглополовяща на [tex]\angle AMB[/tex].

Точките [tex]X[/tex] в равнината, за които правата [tex]OX[/tex] e ъглополовяща на [tex]\angle AXB[/tex] са тези точкит [tex]X[/tex], за които [tex]O[/tex] е на равни разстояния от правите [tex]AX[/tex] и [tex]BX[/tex]. Това означава, че геометричното място на точки [tex]X[/tex], за които [tex]OX[/tex] e ъглополовяща на [tex]\angle AXB[/tex] са пресечните точки на допирателните от [tex]A[/tex] и [tex]B[/tex] към окръжност с център [tex]O[/tex] и произволен радиус [tex]r_1[/tex]. Тъй като се интересуваме [tex]OX[/tex] да e вътрешна ъглополовяща на [tex]\angle AXB[/tex], то ще разгледаме само от две от четирите пресечни точки на допирателните, които на чертежа са означени с [tex]X[/tex] и [tex]Y[/tex]. Така въпроса се свежда до това, при колко различни стойности на [tex]r_1[/tex], [tex]X[/tex] или [tex]Y[/tex] лежат на [tex]k[/tex].

Интуитивно доказателство: Колкото повече "свиваме" окръжността [tex]k_1(O,r_1)[/tex], толкова повече точките [tex]X[/tex] и [tex]Y[/tex] се "приближават" към [tex]O[/tex], като същевременно намаляваме [tex]r_1[/tex]. Обратно, колкото повече увеличаваме [tex]r_1[/tex], толкова повече разширяваме [tex]k_1[/tex] и точките [tex]X[/tex] и [tex]Y[/tex] се "отдалечават" от [tex]O[/tex]. С други думи или точно в един момент и двете точки ще са върху [tex]k[/tex], или в два различни момента точно по една от тях ще попадне върху [tex]k[/tex]. И двата случая ни водят до две решения на задачата.

Формално доказателство: Нека [tex]AO=a[/tex], [tex]BO=b[/tex], [tex]\angle BAO=\alpha[/tex], [tex]\angle ABO=\beta[/tex] и [tex]\angle AOB=\delta[/tex].
Пресмятаме [tex]\angle BAX = \alpha + \arcsin\frac{r_1}{a}, \angle ABX = \beta + \arcsin\frac{r_1}{b}[/tex].
Тогава [tex]\angle AXB=180^\circ - \angle BAX - \angle ABX = \delta - \arcsin\frac{r_1}{a} - \arcsin\frac{r_1}{b}[/tex] и следователно [tex]OX = \frac{r_1}{\sin{\frac{1}{2}\angle AXB}}=\frac{r_1}{\sin{\frac{1}{2}(\delta - \arcsin\frac{r_1}{a} - \arcsin\frac{r_1}{b})}}=f(r_1)[/tex]
Аналогично пресмятаме [tex]OY = \frac{r_1}{\sin{\frac{1}{2}\angle AYB}}=\frac{r_1}{\sin{\frac{1}{2}(\delta + \arcsin\frac{r_1}{a} + \arcsin\frac{r_1}{b})}}=g(r_1)[/tex]
Тъй като [tex]f[/tex] и [tex]g[/tex] са непрекъснати, а от чисто геометрични съображения и монотонно растящи функции, то съществуват точно две стойности на [tex]r_1[/tex], при които [tex]f(r_1)=r[/tex] и [tex]g(r_1)=r[/tex] (двете червени окръжности на втория чертеж). Така достигаме до две решения на задачата.

Забележка: Разглежданото геометрично място на точките [tex]X[/tex] се оказва хипербола, както беше посочено от ins-, в този линк - http://dxdy.ru/topic9555.html. Доказателството си струва да бъде разгледано, но е с тежък аналитичен апарат, който за нашите цели се оказва ненужен. От там може да се види също така, че представянето в явен вид на търсените точки (с точни координати) дори с аналитичен подход се оказва непостижимо.



figura1_2.png
 Description:
 Големина на файла:  119.73 KB
 Видяна:  1565 пъти(s)

figura1_2.png


Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
georgi111
Начинаещ


Регистриран на: 22 May 2009
Мнения: 10

Репутация: 4.1Репутация: 4.1Репутация: 4.1Репутация: 4.1
гласове: 2

МнениеПуснато на: Thu Oct 29, 2009 4:38 pm    Заглавие:

Ето и един друг опит за решение ... може да Ви е интересно:
http://dxdy.ru/topic9555.html
----
Инс ако го загледаш и осмислиш по внимателно ще видиш че не е "опит за решение" а си е решение на руския сайт. Задачката обаче е добра , а и последното решение е много добро - да не кажа най-доброто до момента - личи си че човека има много техника и геометрично "виждане" SmileТвърдо отговора (според мен) на темата е - да за националния е Smile
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ins-
Фен на форума


Регистриран на: 03 Oct 2007
Мнения: 567
Местожителство: Роман, София
Репутация: 56.6
гласове: 28

МнениеПуснато на: Fri Oct 30, 2009 1:02 am    Заглавие:

Благодаря за решението и мненията. Ще прегледам всичко внимателно през почивните дни. Имам много работа напоследък. Искам да го осмисля и проверя за грешки. Ако го разбера с 99,9% вероятност - всичко е ОК.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Задача на седмицата Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Иди на страница Предишна  1, 2
Страница 2 от 2

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
You cannot attach files in this forum
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2020 math10.com.