Регистрирайте сеРегистрирайте се

За Националния кръг :?

Иди на страница 1, 2  Следваща
 
   Форум за математика Форуми -> Задача на седмицата
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
ins-
Фен на форума


Регистриран на: 03 Oct 2007
Мнения: 567
Местожителство: Роман, София
Репутация: 56.6
гласове: 28

МнениеПуснато на: Fri May 29, 2009 10:02 pm    Заглавие:

Намерете всички функции - f: Q -> Q, такива, че: f(1) = 2 и f(xy) = f(x).f(y) - f(x+y) + 1 за всеки две числа - x, y, принадлежащи на Q.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
martin.nikolov
Напреднал


Регистриран на: 22 Apr 2009
Мнения: 489

Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5
гласове: 21

МнениеПуснато на: Fri May 29, 2009 10:35 pm    Заглавие:

ins- написа:
Намерете всички функции - f: Q -> Q, такива, че: f(1) = 2 и f(xy) = f(x).f(y) - f(x+y) + 1 за всеки две числа - x, y, принадлежащи на Q.


[tex] f\left(\frac pq\right)=\frac{p+q}q[/tex]


Smile Това разбира се означава, че фунцията е

[tex]f(x)=x+1[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ins-
Фен на форума


Регистриран на: 03 Oct 2007
Мнения: 567
Местожителство: Роман, София
Репутация: 56.6
гласове: 28

МнениеПуснато на: Fri May 29, 2009 10:41 pm    Заглавие:

Един приятел я измисли ... знам, че е лесна. Ако искаш мога да пусна нещо, което никой на нито един форум не е успял да реши, но не мисля, че има особен смисъл, защото и аз самият нямам решение. За да стане по-интересно мога да дам награда ... символична, около 100 лв. за първото коректно решение. Да пусна ли задачата?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martin.nikolov
Напреднал


Регистриран на: 22 Apr 2009
Мнения: 489

Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5
гласове: 21

МнениеПуснато на: Fri May 29, 2009 10:48 pm    Заглавие:

ins- написа:
Един приятел я измисли ... знам, че е лесна. Ако искаш мога да пусна нещо, което никой на нито един форум не е успял да реши, но не мисля, че има особен смисъл, защото и аз самият нямам решение. За да стане по-интересно мога да дам награда ... символична, около 100 лв. за първото коректно решение. Да пусна ли задачата?


Давай. Дали ще я решим е второстепенно, важното е да мислим върху нея.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ins-
Фен на форума


Регистриран на: 03 Oct 2007
Мнения: 567
Местожителство: Роман, София
Репутация: 56.6
гласове: 28

МнениеПуснато на: Fri May 29, 2009 11:03 pm    Заглавие:

Ок ... пускам задачата в няколко разновидности по множество причини - за яснота и защото може да не е построимо това, което се иска с линийка и пергел.

1. Дадени са окръжност k(O, r) и отсечка AB. Да се построят с линийка и пергел всички точки от окръжността М, за които правата OM e ъглополовяща на <AMB.


2. Дадени са окръжност k(O, r) и отсечка AB. Да се намери геометричното място на точките от окръжността М, за които правата OM e ъглополовяща на <AMB.


3. Дадени са окръжност с център О с координати (x1, y1) и отсечка AB, координатите на A са (x2, y2), а на B - (x3, y3). Да се намерят координатите на точките М от окръжността, за които правата OM e ъглополовяща на <AMB.

Търси се коректно решение на коя да е от задачите. Ако точката М - не е построима с линийка и пергел - търси се решение на коя да е от задачите 2. и 3. Не са ми познати инверсия, вектори, комплексни числа, полярни координати и т.н. затова, колкото по-елементарно е решението - толкова по-добре, но при нужда мога да ги науча. Задачата ме измъчва от много време и наистина ще дам награда на човека, който я реши пръв - краен срок - няма. При нужда мога да пусна линкове към сайтове, където съм я пускал за справка докъде са стигнали други хора. Мой бивш колега твърдеше, че е измислил тази задача докато е решавал софтуерен проблем, свързан с огледала по пътищата, но не приемам това за чиста монета. Пускана е в math10 и преди.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Baronov
Напреднал


Регистриран на: 05 Jun 2008
Мнения: 316

Репутация: 55.4
гласове: 39

МнениеПуснато на: Sat May 30, 2009 7:01 pm    Заглавие:

OM e ъглополовяща на АМВ, тогава и само тогава, когато
[tex]\frac{AM}{MB}=\frac{AO}{OB} = k = const[/tex].

Геометричното място на точките М в равнината, такива, че [tex]\frac{AM}{MB} = k = const[/tex], се нарича Аполониева окръжност. Това е окръжност с диаметър ХУ, където Х и У са точките, които делят АВ в отношение к, външно и вътрешно.
Построяваш ХУ, построяваш Аполониевата окръжност и гледаш къде пресича твойта окръжност. Понеже центъра О е върху Аполониеввата окръжност, това ще става в точно 2 точки.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ins-
Фен на форума


Регистриран на: 03 Oct 2007
Мнения: 567
Местожителство: Роман, София
Репутация: 56.6
гласове: 28

МнениеПуснато на: Sat May 30, 2009 10:29 pm    Заглавие:

Благодаря много! Явно не знам много неща. Ще прочета за Аполониевата окръжност. Ако се окажеш прав - ще спазя обещанието си. Благодаря ти за усилията! Странно ми е защо до сега никой не успяваше да реши задачата?!
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ins-
Фен на форума


Регистриран на: 03 Oct 2007
Мнения: 567
Местожителство: Роман, София
Репутация: 56.6
гласове: 28

МнениеПуснато на: Sun May 31, 2009 6:05 pm    Заглавие:

Прегледах материалите за Аполониева окръжност.
Това, което имам в предвид, когато говоря за Аполониева окръжност е тук: http://en.wikipedia.org/wiki/Circle в частта: Apollonius circle.
Прав си, че геометричното място е окръжност, но тази окръжност се определя от стойността на отношението k=const. За да построиш такава окръжност трябва да знаеш неговата стойност, а тук не е известна, или казано с други думи, ако не знаем стойността на k - окръжността не е определена, нещо като в класическата дефиниция за окръжност - искаш да построиш окръжност, ако знаеш само центъра й, а радиуса е неопределен.
Затова според мен идеята ти, както е описана е неприложима. Иначе си личи, че си много напред с материала, аз даже не бях и чувал за Аполониевата дефиниция за окръжност - поздравления!
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
krainik
Фен на форума


Регистриран на: 01 May 2009
Мнения: 697

Репутация: 51.8
гласове: 44

МнениеПуснато на: Sun May 31, 2009 6:17 pm    Заглавие:

И преди във форума се е говорила за Аполониева окръжност, но просто не си обърнал внимание Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Sun May 31, 2009 6:29 pm    Заглавие:

ins- написа:
Прав си, че геометричното място е окръжност, но тази окръжност се определя от стойността на отношението k=const. За да построиш такава окръжност трябва да знаеш неговата стойност, а тук не е известна, или казано с други думи, ако не знаем стойността на k - окръжността не е определена, нещо като в класическата дефиниция за окръжност - искаш да построиш окръжност, ако знаеш само центъра й, а радиуса е неопределен.
Затова според мен идеята ти, както е описана е неприложима.

Защо да е неприложимо.. все пак са ни дадени АО и ВО, това не означава ли, че знаем к?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ins-
Фен на форума


Регистриран на: 03 Oct 2007
Мнения: 567
Местожителство: Роман, София
Репутация: 56.6
гласове: 28

МнениеПуснато на: Sun May 31, 2009 6:47 pm    Заглавие:

Ще отговоря на въпроса с въпрос:
Защо OM e ъглополовяща на АМВ, тогава и само тогава, когато
[tex]\frac{AM}{MB}=\frac{AO}{OB} = k = const[/tex]?
Според мен - това твърдение не е коректно, а иначе martosss е прав, недоглеждането беше мое.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Sun May 31, 2009 7:08 pm    Заглавие:

е ми това директно следва от свойството на ъглополовящата, понеже О и М са точки от ъглополовящата, то където и да е М, ако си построим пресечната точка К на АВ със ОМ, то АК/ВК=АО/ВО=АМ/ВМ=к, сега понеже АО/ВО ни е дадено, то и другите трябва да са винаги константа... мен ми изглежда напълно логично Smile А за построението на Аполониевата окръжност предполагам нещо с Талес трябва да се направи, за да се определят точките "Х" и "У", за които Баронов говори, след което просто гледаме къде аполониевата окръжност пресича дадената Smile
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ins-
Фен на форума


Регистриран на: 03 Oct 2007
Мнения: 567
Местожителство: Роман, София
Репутация: 56.6
гласове: 28

МнениеПуснато на: Sun May 31, 2009 7:15 pm    Заглавие:

Това не следва от свойствата на ъглополовящата.
Можем единствено да твърдим, че:
[tex]\frac{AO}{BO} = \frac{AMsin<BOM}{BMsin<AOM} = \frac{ANsin<BOM}{BNsin<AOM}[/tex]

(тук N e пресечната точка на OM и AB)
Моля да не подценявате задачата. Предполагам, че Baronov е стигнал до този извод след грешно съкращаване на синуси. Поне аз веднъж така се подведох.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Sun May 31, 2009 7:32 pm    Заглавие:

опа, тия ъгли май май наистина не са равни Confused Confused
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Baronov
Напреднал


Регистриран на: 05 Jun 2008
Мнения: 316

Репутация: 55.4
гласове: 39

МнениеПуснато на: Sun May 31, 2009 8:59 pm    Заглавие:

Уф. Или е ъглополовяща на който ъгъл трябва или на съседния му. Трявва да се види дали точката О е вътрешна за триъгълника, тогава ще е на който ъгъл трябва. Това не знам как може да стане, но със сигурност това е идеята. Имаш само 2 кандидат точки вече.
Ако примерно ти трябва да ги проверяваш на компютър тези точки, можеш да сметнеш двете точки и да видиш коя е вътре в триъгълника.

Какви са тези неща, че не знаеш радиуса??? Сигурен ли си, че разбиращ какво пиша?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ins-
Фен на форума


Регистриран на: 03 Oct 2007
Мнения: 567
Местожителство: Роман, София
Репутация: 56.6
гласове: 28

МнениеПуснато на: Sun May 31, 2009 9:34 pm    Заглавие:

Ако погледнеш линка, който изпратих ще видиш, че добре разбирам какво пишеш. Просто го прочети по-внимателно, не казвам, че не се знае радиуса, а че да построиш окръжност съгласно дефиницията за окръжност на Аполон без да знаеш точната стойност на отношението е невъзможно. За да не говорим общи приказки, когато имаш време разпиши подробно решението си. Не забравяй, че задачата може да има подслучаи и не е лесна изобщо. Пускана е и в mathlinks.ro и къде ли не и никой не успя да я реши, което ме учудва. Само един човек - Дарий Гринберг твърдеше, че това нещо не е построимо с линийка и пергел има и други опити с тригонометрия, аналитична геометрия, вписани ъгли, инверсия и какво ли още не, но за съжаление - безуспешни. Аз я мъчих много време и не успях, а ми е интересно да видя решение и затова казах, че ще дам скромна награда на първия човек, който пусне коректно решение.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
georgi111
Начинаещ


Регистриран на: 22 May 2009
Мнения: 10

Репутация: 4.1Репутация: 4.1Репутация: 4.1Репутация: 4.1
гласове: 2

МнениеПуснато на: Mon Jun 01, 2009 9:23 am    Заглавие:

хорица AO/BO е константа ОК така е. Въпросче - откъде следва обаче че ОМ е ъглополовяща на ъгъл AOB ? Задачата има 2 решения само в случая когато О (центъра)
лежи на симетралата на AB. Във всички останали случаи се доказва че ОМ не е ъглополовяща. Скоро ще пусна решение на това(със елементарни средства вписани ъгли етц). Боби ми е приятел ама не вярва още че тая задачка има елементарно решение - без никакви сложни теории въпреки че инверсия или комплексни числа също са приложими тука.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
estoyanovvd
Фен на форума


Регистриран на: 19 Sep 2006
Мнения: 764
Местожителство: Видин
Репутация: 94.7Репутация: 94.7
гласове: 67

МнениеПуснато на: Mon Jun 01, 2009 9:50 am    Заглавие:

Baronov написа:
OM e ъглополовяща на АМВ, тогава и само тогава, когато
[tex]\frac{AM}{MB}=\frac{AO}{OB} = k = const[/tex].



Това твърдение си е абсолютно грешно.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение Посетете сайта на потребителя
estoyanovvd
Фен на форума


Регистриран на: 19 Sep 2006
Мнения: 764
Местожителство: Видин
Репутация: 94.7Репутация: 94.7
гласове: 67

МнениеПуснато на: Mon Jun 01, 2009 10:04 am    Заглавие:

Ако беше вярно, то триъгълниците AOM и BOM са еднакви, откъдето следва, че ABM е равнобедрен, т.е O трябва да лежи на симетралата на AB, което не е задължително!


4ert.3.JPG
 Description:
 Големина на файла:  8.62 KB
 Видяна:  3959 пъти(s)

4ert.3.JPG


Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение Посетете сайта на потребителя
estoyanovvd
Фен на форума


Регистриран на: 19 Sep 2006
Мнения: 764
Местожителство: Видин
Репутация: 94.7Репутация: 94.7
гласове: 67

МнениеПуснато на: Mon Jun 01, 2009 10:55 am    Заглавие:

georgi111 написа:
Задачата има 2 решения само в случая когато О (центъра)
лежи на симетралата на AB. Във всички останали случаи се доказва че ОМ не е ъглополовяща. Скоро ще пусна решение на това(със елементарни средства вписани ъгли етц). Боби ми е приятел ама не вярва още че тая задачка има елементарно решение - без никакви сложни теории въпреки че инверсия или комплексни числа също са приложими тука.


Е и това си е пълна глупост, че задачата има решение само когато О лежи на симетралата на АВ!!! От чертежа долу се вижда, че това не е така. Също така е ясно, че една точка М може да е търсената за безброй отсечки АВ.



4ert.4.JPG
 Description:
 Големина на файла:  14.83 KB
 Видяна:  3944 пъти(s)

4ert.4.JPG


Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение Посетете сайта на потребителя
ins-
Фен на форума


Регистриран на: 03 Oct 2007
Мнения: 567
Местожителство: Роман, София
Репутация: 56.6
гласове: 28

МнениеПуснато на: Mon Jun 01, 2009 11:06 am    Заглавие:

Имам леки съмнения, че при така поставеното условие задачата е неопределена и затова е толкова трудна за решаване. Ако това бъде доказано - пак се брои за решение. А kazakov111 имаше нещо друго в предвид вероятно, а не че триъгълниците са еднакви ...

Извинявам се ... вероятно си е определена, защото бях доказал преди време с помощта на алгебрични средства, че задачата има < 4 решения.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Baronov
Напреднал


Регистриран на: 05 Jun 2008
Мнения: 316

Репутация: 55.4
гласове: 39

МнениеПуснато на: Mon Jun 01, 2009 5:49 pm    Заглавие:

Ох, не съм предполагал, че съм ЧАК толкова слаб по геометрия. Знаех, че съм слаб, но чак пък толкова. Прави сте още първото ми твърдение е грешно. Извинявам се за глупостите си.
Поне имаше полза, показах на инс Аполониевата окръжност.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ins-
Фен на форума


Регистриран на: 03 Oct 2007
Мнения: 567
Местожителство: Роман, София
Репутация: 56.6
гласове: 28

МнениеПуснато на: Mon Jun 01, 2009 7:04 pm    Заглавие:

Smile никой не е слаб по геометрия ... просто задачата не е лека ... има задачи, които изглеждат прости. Аз имам и още една по-лека задача, която е грешно решена в 2 математически списания и е пускана с грешно решение на олимпиада по математика ... аз съм мързелив понякога, но мога да намеря интересни неща, ако се заровя. А за втората задача - ще я пусна, когато някой реши тази или мине доста време. Ако искате - да пусна линкове с това, което са мислили хората по света за тази задача?

А на "задача на седмицата" автора е kazakov111 ... той е много умен и знае много много неща и искрено му се възхищавам. Понякога се дъни на леки задачи, но той ми е помогнал за някои много трудни задачи, а и за други неща в живота - много добър и точен човек - за съжаление - рядко се срещат такива хора.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
estoyanovvd
Фен на форума


Регистриран на: 19 Sep 2006
Мнения: 764
Местожителство: Видин
Репутация: 94.7Репутация: 94.7
гласове: 67

МнениеПуснато на: Mon Jun 01, 2009 7:21 pm    Заглавие:

Ама защо питаш?! Пускай!!! Razz Razz Razz
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение Посетете сайта на потребителя
estoyanovvd
Фен на форума


Регистриран на: 19 Sep 2006
Мнения: 764
Местожителство: Видин
Репутация: 94.7Репутация: 94.7
гласове: 67

МнениеПуснато на: Mon Jun 01, 2009 7:23 pm    Заглавие:

ins- написа:

А на "задача на седмицата" автора е kazakov111 ... той е много умен и знае много много неща и искрено му се възхищавам. Понякога се дъни на леки задачи, но той ми е помогнал за някои много трудни задачи, а и за други неща в живота - много добър и точен човек - за съжаление - рядко се срещат такива хора.


Ти си знаеш по-добре, но определено не е прав за симетралата!!!
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение Посетете сайта на потребителя
ins-
Фен на форума


Регистриран на: 03 Oct 2007
Мнения: 567
Местожителство: Роман, София
Репутация: 56.6
гласове: 28

МнениеПуснато на: Mon Jun 01, 2009 7:38 pm    Заглавие:

Ще станат много задачи една след друга и се губи смисъла ... затова, но щом искате - пускам я. Задачата е следната:

За кои цели стойности на [tex]m[/tex] израза: [tex]7m^2 + 10m - 8[/tex] е точен квадрат на цяло число?

Публикувана е в рубриката "Задачи" на списание "Математика и информатика" през 1996 с автор Емануил Ясиновий - Арад, Израел. Беше решена грешно от Иван Тонов, известен български математик, от който съм виждал много добри задачи.
След това я публикувах като студент в списание "Математически форум", където отново беше некоректно решена.
За задачата знам, че може да се реши с уравнение на Пел, а и вероятно с елиптични криви, но не ги познавам като материал. Доказвал съм, че има безброй много решения и съм намирал формули за тях, но така и не успях да обединя намерените формули в една.

А kazakov111 призна грешката си, но не е имал време да го напише.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martin.nikolov
Напреднал


Регистриран на: 22 Apr 2009
Мнения: 489

Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5
гласове: 21

МнениеПуснато на: Mon Jun 01, 2009 7:50 pm    Заглавие:

ins- написа:
Ще станат много задачи една след друга и се губи смисъла ... затова, но щом искате - пускам я. Задачата е следната:

За кои цели стойности на [tex]m[/tex] израза: [tex]7m^2 + 10m - 8[/tex] е точен квадрат на цяло число?

Публикувана е в рубриката "Задачи" на списание "Математика и информатика" през 1996 с автор Емануил Ясиновий - Арад, Израел. Беше решена грешно от Иван Тонов, известен български математик, от който съм виждал много добри задачи.
След това я публикувах като студент в списание "Математически форум", където отново беше некоректно решена отново.
За задачата знам, че може да се реши с уравнение на Пел, а и вероятно с елиптични криви, но не ги познавам като материал. Доказвал съм, че има безброй много решения и съм намирал формули за тях, но така и не успях да обединя намерените формули в една.

А kazakov111 призна грешката си, но не е имал време да го напише.


Това как го свързваш с елиптични криви?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ins-
Фен на форума


Регистриран на: 03 Oct 2007
Мнения: 567
Местожителство: Роман, София
Репутация: 56.6
гласове: 28

МнениеПуснато на: Mon Jun 01, 2009 7:51 pm    Заглавие:

Не го свързвам, а един преподавател в университет го спомена. Може и да не го възпроизвеждам правилно, а и едни руснаци го казаха преди време.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martin.nikolov
Напреднал


Регистриран на: 22 Apr 2009
Мнения: 489

Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5
гласове: 21

МнениеПуснато на: Mon Jun 01, 2009 8:08 pm    Заглавие:

ins- написа:
Не го свързвам, а един преподавател в университет го спомена. Може и да не го възпроизвеждам правилно, а и едни руснаци го казаха преди време.


Добре де, не ти а те. Интересно ми е каква е връзката с елиптични криви.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ins-
Фен на форума


Регистриран на: 03 Oct 2007
Мнения: 567
Местожителство: Роман, София
Репутация: 56.6
гласове: 28

МнениеПуснато на: Mon Jun 01, 2009 10:15 pm    Заглавие:

Не ми се търси, но ако използваш google би могъл да намериш това, което те интересува.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Задача на седмицата Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Иди на страница 1, 2  Следваща
Страница 1 от 2

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
You cannot attach files in this forum
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2020 math10.com.