Задачка.

[DTP]

Задачата е от "Черноризец Храбър":
Точка М е вътрешна за квадрата АБЦД,като АМ=1;БМ=2;ЦМ=3.Намерете ъгъл АМБ.

[Реклама]

[mkmarinov]

Страната на квадрата не е ли дадена?

[DTP]

не,ако беше дадена,смисъла на ЦМ какъв е?

[r2d2]

Нека[tex] \angle ABM = \mu \Rightarrow \cos \mu = \frac{x^2+3}{4x}[/tex] и [tex] \cos \angle CBM = \frac{x^2-5}{4x}=cos(90^\circ - \mu)=\sin \mu[/tex] (x e страната на квадрата и х^2>5).

Тогава [tex](\frac{x^2-5}{4x})^2+(\frac{x^2+3}{4x})^2=1[/tex], кoeтo дава [tex]x^2=5+2\sqrt{2}[/tex] (квадратът на другия корен < 5). Пресмятаме

[tex]\cos \angle BMA = \frac{5-x^2}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}=cos 135^\circ[/tex].

[martosss]

само да отбележа - задачата трябва да се реши за около 3 минути аз я реших за около 10... и то на спокойствие.. ако съм притеснен и ми тече времето на главата не знам... щях да се паникьосам и отиде...

[DTP]

[Пафнутий]

Само да добавя, че задачата е от темата 9-10 клас, което означава, че деветокласниците няма да знаят тригонометрия. Намерете синтетично решение По-възможност за по-малко от 3 минути...

[DTP]

[r2d2]

Да разгледаме ротация на ъгъл 90 с център В. Ясно е, че образът на А е С, нека М отива в М1. От свойствата на ротацията ВМ1=2, СМ1=1 и правите АМ и СМ1 са перпендикулярни.
От друга страна триъгълникът МВМ1 е равнобедрен правоъгълен, те ММ1=2√2 и тогава
[tex]CM^2=3^2=MM_1^2+CM_1^2[/tex], т.е [tex]\angle MM_1C=90^\circ. [/tex]Доказахме, че точките А,М,М1 са на една права (т.N съвпада с М1).

Понеже М1МВ = 45 разбираме, че АМВ = 135.

[DTP]

[r2d2]

Понеже [tex]\cos \angle CMB = \frac {x^2-5}{4x}[/tex] и по условие този ъгъл е остър, разбираме, че [tex]x^2>5[/tex]

[martosss]

Да им е честито на 9/10-класници тази задача