Формула за лице на описан четириъгълник

[uktc]

Може ли някой да ми докаже формулата за лице на описан четириъгълник S=√(abcd)sin[(β+λ)/2], където a, b, c и d са страните, а β и λ са два срещуположни ъгъла?
Мернах я в една книжка, но нещо си нямам идея как да я докажа
Интересно следствие от тази формула е, че ако четириъгълникът е вписан в окръжност и описан около окръжност, то S=√(abcd).
Някакви идеи?

[Реклама]

[Tony_89]

Нека четириъгълникът да е ABCD, като:

AB = a, BC = b, CD = c, AD = d, <BCD = λ, <BAD = β

a + c = b + d

a - d = b - c

a² - 2*a*d + d² = b² - 2*b*c + c²

a² + d² - b² - c² = 2*a*d - 2*b*c

BD² = a² + d² - 2*a*d*cos(β)

BD² = b² + c² - 2*b*c*cos(λ)

a² + d² - b² - c² - 2*a*d*cos(β) + 2*b*c*cos(λ) = 0

2*a*d - 2*b*c - 2*a*d*cos(β) + 2*b*c*cos(λ) = 0

a*d - a*d*cos(β) = b*c - b*c*cos(λ)

(a*d)/(b*c) = (1 - cos(λ))/(1 - cos(β)) = sin(λ/2)²/sin(β/2)²

a*d = b*c*sin(λ/2)²/sin(β/2)² =>

=> √(a*b*c*d) = b*c*sin(λ/2)/sin(β/2)


От формулата S = √(a*b*c*d)*sin((β + λ)/2) имаме:

S_ABCD = b*c*sin(λ/2)*sin((β + λ)/2)/sin(β/2)


S_ABD = a*d*sin(β)/2 =

= b*c*sin(λ/2)²*sin(β)/(2*sin(β/2)²) =

= b*c*sin(λ/2)²*cos(β/2)/sin(β/2) =

= b*c*sin(λ/2)²*cotg(β/2)

S_BCD = b*c*sin(λ)/2

S_ABCD = S_ABD + S_BCD =

= b*c*(sin(λ/2)²*cotg(β/2) + sin(λ)/2) =

= b*c*(sin(λ/2)²*cos(β/2)/sin(β/2) + sin(λ)/2) =

= b*c*(2*sin(λ/2)²*cos(β/2) + sin(λ)*sin(β/2))/(2*sin(β/2)) =

= b*c*(2*sin(λ/2)²*cos(β/2) + 2*sin(λ/2)*cos(λ/2)*sin(β/2))/(2*sin(β/2)) =

= b*c*sin(λ/2)*(sin(λ/2)*cos(β/2) + cos(λ/2)*sin(β/2))/sin(β/2) =

= b*c*sin(λ/2)*sin((β + λ)/2)/sin(β/2)

С което задачата е доказана.

[uktc]

10х.