Тетраедър с прав тристенен ъгъл

[ганка симеонова]

Даден е тетраедър FABC с прав тристенен ъгъл при върха F.
[tex](\angle AFB=\angle BFC=\angle AFC=90^\circ )[/tex]
Да се докаже, че върхът F, медицентърът на [tex]\Delta ABC [/tex] и центърът на описаната около тетраедъра сфера лежат на една права.

[Реклама]

[NoThanks]

Хм, аз направих нещо с вектори, но нещо не съм съвсем убеден в крайния резултат.
Нека К е средата на АВ, О-центърът на описаната сфера и Г- медицентърът. Въвеждаме базис с начало т.а и [tex]\vec{AB}=\vec{a} \; \vec{AC}=\vec{b} \; \vec{AF}=\vec{c}[/tex] Лесно изразяваме [tex]\vec{FC}=\vec{b}-\vec{c} \; \vec{BC}=\vec{b}-\vec{a}[/tex] Сега от правите ъгли получаваме [tex]\vec{c}(\vec{a}-\vec{c}) =0 \; (1)[/tex] [tex]\vec{c}(\vec{b}-\vec{c})=0 \; (2)[/tex] [tex](\vec{a}-\vec{c})(\vec{b}-\vec{c})=0 \; (3)[/tex] Сега имаме [tex]\vec{FG}=\vec{FA}+\vec{AG}[/tex] като приложим основната задачка за медианата намираме [tex]\vec{FG}=\frac{1}{3}(\vec{a}+\vec{b})-\vec{c}[/tex] Сега [tex]FO=\vec{FA}+\vec{AO} \; \vec{AO}=\frac{\vec{a}}{2}+\vec{KO}[/tex] като от КО перпендикулярно AB => [tex]\vec{a}.\vec{KO}=0[/tex] , но имаме [tex]\vec{a}\vec{b}-\vec{a}\vec{c} - \vec{b}\vec{c}+\vec{c^2} =0 [/tex](от 3) като в същото време сме изразили и [tex]\vec{b}\vec{c}-\vec{c^2}=0[/tex](От 2) => [tex]\vec{a}(\vec{b}-\vec{c})=0[/tex] но [tex]\vec{a}\vec{KO}=0 => \vec{KO} = k(\vec{b}-\vec{c})[/tex] => [tex]\vec{AO}=\frac{\vec{a}}{2} + k(\vec{b}-\vec{c})[/tex] => [tex]\vec{FO} = \frac{\vec{a}}{2} + k(\vec{b}-\vec{c}) - \vec{c}= \frac{\vec{a}}{2} +k.\vec{b}-\vec{c}(1+k)[/tex] и вече знаем [tex]\vec{FG}=\frac{1}{3}(\vec{a}+\vec{b}) - \vec{c}[/tex] От тук е ясно, че съществува такова p ,т.ч за всяко к(тук е съмнително. Намерих няколко такива к, но не е съвсем сигурно че всички) е изпълнено [tex]\vec{FO}=p\vec{FG}[/tex] откъдето следва, че векторите са колинеарни, а понеже имат обща точка F, то те лежат на 1 права => F,O,G са на 1 права

[M_Velinova]

Ти сам си усетил,
има цяла равнина от прави перпендикулярни на [tex]\vec{AB}[/tex],
така че тук си търси грешката.
А моят съвет е да избереш по подходяща база, например [tex]\vec{FA}, \vec{FB}, \vec{FC}[/tex]

[r2d2]

A моят съвет е да махнеш векторите! Тази пирамида е част от...?

[ганка симеонова]

NoThanks, какви са AB и CF?
Построй перпендикуляр от т.О към (ABF). Къде е петата му?
Какви са CF и този перпендикуляр?

[inimitably]

Пирамидата е част от прав паралелепипед . Тогава [tex]OM||CF[/tex] и [tex]\frac{\overline{CG} }{\overline{GM} }=\frac{\overline{CF} }{\overline{OM} } =\frac{2}{1 } [/tex] [tex] \Rightarrow[/tex] [tex]F,G[/tex] и [tex]O[/tex] лежат на една права.

[r2d2]

Ще кача моята картинка, мисля че е по-хубава!