За Националния кръг :?

[ins-]

Намерете всички функции - f: Q -> Q, такива, че: f(1) = 2 и f(xy) = f(x).f(y) - f(x+y) + 1 за всеки две числа - x, y, принадлежащи на Q.

[Реклама]

[martin.nikolov]

[ins-]

Един приятел я измисли ... знам, че е лесна. Ако искаш мога да пусна нещо, което никой на нито един форум не е успял да реши, но не мисля, че има особен смисъл, защото и аз самият нямам решение. За да стане по-интересно мога да дам награда ... символична, около 100 лв. за първото коректно решение. Да пусна ли задачата?

[martin.nikolov]

[ins-]

Ок ... пускам задачата в няколко разновидности по множество причини - за яснота и защото може да не е построимо това, което се иска с линийка и пергел.

1. Дадени са окръжност k(O, r) и отсечка AB. Да се построят с линийка и пергел всички точки от окръжността М, за които правата OM e ъглополовяща на <AMB.


2. Дадени са окръжност k(O, r) и отсечка AB. Да се намери геометричното място на точките от окръжността М, за които правата OM e ъглополовяща на <AMB.


3. Дадени са окръжност с център О с координати (x1, y1) и отсечка AB, координатите на A са (x2, y2), а на B - (x3, y3). Да се намерят координатите на точките М от окръжността, за които правата OM e ъглополовяща на <AMB.

Търси се коректно решение на коя да е от задачите. Ако точката М - не е построима с линийка и пергел - търси се решение на коя да е от задачите 2. и 3. Не са ми познати инверсия, вектори, комплексни числа, полярни координати и т.н. затова, колкото по-елементарно е решението - толкова по-добре, но при нужда мога да ги науча. Задачата ме измъчва от много време и наистина ще дам награда на човека, който я реши пръв - краен срок - няма. При нужда мога да пусна линкове към сайтове, където съм я пускал за справка докъде са стигнали други хора. Мой бивш колега твърдеше, че е измислил тази задача докато е решавал софтуерен проблем, свързан с огледала по пътищата, но не приемам това за чиста монета. Пускана е в math10 и преди.

[Baronov]

OM e ъглополовяща на АМВ, тогава и само тогава, когато
[tex]\frac{AM}{MB}=\frac{AO}{OB} = k = const[/tex].

Геометричното място на точките М в равнината, такива, че [tex]\frac{AM}{MB} = k = const[/tex], се нарича Аполониева окръжност. Това е окръжност с диаметър ХУ, където Х и У са точките, които делят АВ в отношение к, външно и вътрешно.
Построяваш ХУ, построяваш Аполониевата окръжност и гледаш къде пресича твойта окръжност. Понеже центъра О е върху Аполониеввата окръжност, това ще става в точно 2 точки.

[ins-]

Благодаря много! Явно не знам много неща. Ще прочета за Аполониевата окръжност. Ако се окажеш прав - ще спазя обещанието си. Благодаря ти за усилията! Странно ми е защо до сега никой не успяваше да реши задачата?!

[ins-]

Прегледах материалите за Аполониева окръжност.
Това, което имам в предвид, когато говоря за Аполониева окръжност е тук: http://en.wikipedia.org/wiki/Circle в частта: Apollonius circle.
Прав си, че геометричното място е окръжност, но тази окръжност се определя от стойността на отношението k=const. За да построиш такава окръжност трябва да знаеш неговата стойност, а тук не е известна, или казано с други думи, ако не знаем стойността на k - окръжността не е определена, нещо като в класическата дефиниция за окръжност - искаш да построиш окръжност, ако знаеш само центъра й, а радиуса е неопределен.
Затова според мен идеята ти, както е описана е неприложима. Иначе си личи, че си много напред с материала, аз даже не бях и чувал за Аполониевата дефиниция за окръжност - поздравления!

[krainik]

И преди във форума се е говорила за Аполониева окръжност, но просто не си обърнал внимание

[martosss]

[ins-]

Ще отговоря на въпроса с въпрос:
Защо OM e ъглополовяща на АМВ, тогава и само тогава, когато
[tex]\frac{AM}{MB}=\frac{AO}{OB} = k = const[/tex]?
Според мен - това твърдение не е коректно, а иначе martosss е прав, недоглеждането беше мое.

[martosss]

е ми това директно следва от свойството на ъглополовящата, понеже О и М са точки от ъглополовящата, то където и да е М, ако си построим пресечната точка К на АВ със ОМ, то АК/ВК=АО/ВО=АМ/ВМ=к, сега понеже АО/ВО ни е дадено, то и другите трябва да са винаги константа... мен ми изглежда напълно логично А за построението на Аполониевата окръжност предполагам нещо с Талес трябва да се направи, за да се определят точките "Х" и "У", за които Баронов говори, след което просто гледаме къде аполониевата окръжност пресича дадената

[ins-]

Това не следва от свойствата на ъглополовящата.
Можем единствено да твърдим, че:
[tex]\frac{AO}{BO} = \frac{AMsin<BOM}{BMsin<AOM} = \frac{ANsin<BOM}{BNsin<AOM}[/tex]

(тук N e пресечната точка на OM и AB)
Моля да не подценявате задачата. Предполагам, че Baronov е стигнал до този извод след грешно съкращаване на синуси. Поне аз веднъж така се подведох.

[martosss]

опа, тия ъгли май май наистина не са равни

[Baronov]

Уф. Или е ъглополовяща на който ъгъл трябва или на съседния му. Трявва да се види дали точката О е вътрешна за триъгълника, тогава ще е на който ъгъл трябва. Това не знам как може да стане, но със сигурност това е идеята. Имаш само 2 кандидат точки вече.
Ако примерно ти трябва да ги проверяваш на компютър тези точки, можеш да сметнеш двете точки и да видиш коя е вътре в триъгълника.

Какви са тези неща, че не знаеш радиуса??? Сигурен ли си, че разбиращ какво пиша?

[ins-]

Ако погледнеш линка, който изпратих ще видиш, че добре разбирам какво пишеш. Просто го прочети по-внимателно, не казвам, че не се знае радиуса, а че да построиш окръжност съгласно дефиницията за окръжност на Аполон без да знаеш точната стойност на отношението е невъзможно. За да не говорим общи приказки, когато имаш време разпиши подробно решението си. Не забравяй, че задачата може да има подслучаи и не е лесна изобщо. Пускана е и в mathlinks.ro и къде ли не и никой не успя да я реши, което ме учудва. Само един човек - Дарий Гринберг твърдеше, че това нещо не е построимо с линийка и пергел има и други опити с тригонометрия, аналитична геометрия, вписани ъгли, инверсия и какво ли още не, но за съжаление - безуспешни. Аз я мъчих много време и не успях, а ми е интересно да видя решение и затова казах, че ще дам скромна награда на първия човек, който пусне коректно решение.

[georgi111]

хорица AO/BO е константа ОК така е. Въпросче - откъде следва обаче че ОМ е ъглополовяща на ъгъл AOB ? Задачата има 2 решения само в случая когато О (центъра)
лежи на симетралата на AB. Във всички останали случаи се доказва че ОМ не е ъглополовяща. Скоро ще пусна решение на това(със елементарни средства вписани ъгли етц). Боби ми е приятел ама не вярва още че тая задачка има елементарно решение - без никакви сложни теории въпреки че инверсия или комплексни числа също са приложими тука.

[estoyanovvd]

[estoyanovvd]

Ако беше вярно, то триъгълниците AOM и BOM са еднакви, откъдето следва, че ABM е равнобедрен, т.е O трябва да лежи на симетралата на AB, което не е задължително!

[estoyanovvd]

[ins-]

Имам леки съмнения, че при така поставеното условие задачата е неопределена и затова е толкова трудна за решаване. Ако това бъде доказано - пак се брои за решение. А kazakov111 имаше нещо друго в предвид вероятно, а не че триъгълниците са еднакви ...

Извинявам се ... вероятно си е определена, защото бях доказал преди време с помощта на алгебрични средства, че задачата има < 4 решения.

[Baronov]

Ох, не съм предполагал, че съм ЧАК толкова слаб по геометрия. Знаех, че съм слаб, но чак пък толкова. Прави сте още първото ми твърдение е грешно. Извинявам се за глупостите си.
Поне имаше полза, показах на инс Аполониевата окръжност.

[ins-]

никой не е слаб по геометрия ... просто задачата не е лека ... има задачи, които изглеждат прости. Аз имам и още една по-лека задача, която е грешно решена в 2 математически списания и е пускана с грешно решение на олимпиада по математика ... аз съм мързелив понякога, но мога да намеря интересни неща, ако се заровя. А за втората задача - ще я пусна, когато някой реши тази или мине доста време. Ако искате - да пусна линкове с това, което са мислили хората по света за тази задача?

А на "задача на седмицата" автора е kazakov111 ... той е много умен и знае много много неща и искрено му се възхищавам. Понякога се дъни на леки задачи, но той ми е помогнал за някои много трудни задачи, а и за други неща в живота - много добър и точен човек - за съжаление - рядко се срещат такива хора.

[estoyanovvd]

Ама защо питаш?! Пускай!!!

[estoyanovvd]

[ins-]

Ще станат много задачи една след друга и се губи смисъла ... затова, но щом искате - пускам я. Задачата е следната:

За кои цели стойности на [tex]m[/tex] израза: [tex]7m^2 + 10m - 8[/tex] е точен квадрат на цяло число?

Публикувана е в рубриката "Задачи" на списание "Математика и информатика" през 1996 с автор Емануил Ясиновий - Арад, Израел. Беше решена грешно от Иван Тонов, известен български математик, от който съм виждал много добри задачи.
След това я публикувах като студент в списание "Математически форум", където отново беше некоректно решена.
За задачата знам, че може да се реши с уравнение на Пел, а и вероятно с елиптични криви, но не ги познавам като материал. Доказвал съм, че има безброй много решения и съм намирал формули за тях, но така и не успях да обединя намерените формули в една.

А kazakov111 призна грешката си, но не е имал време да го напише.

[martin.nikolov]

[ins-]

Не го свързвам, а един преподавател в университет го спомена. Може и да не го възпроизвеждам правилно, а и едни руснаци го казаха преди време.

[martin.nikolov]

[ins-]

Не ми се търси, но ако използваш google би могъл да намериш това, което те интересува.