Областен кръг по математика - 25.04.2009

[violin]

[Реклама]

[mkmarinov]

1. Двете страни на ромба.
2. Общата страна
3. BD е диагонал в ромб (съответно и ъглополовяща).

[violin]

[mkmarinov]

Исках да къжа дъгата EA .
[tex]\angle AFC=\angle ACD[/tex] като кръстни.
[tex]\angle ACD=\angle DAM[/tex] от еднаквите триъгълници.
=>
[tex]\angle EFA=\angle EAM=\frac{1}{2}EA[/tex]
=> EAM е п... забравих думата => АМ е допирателна.

[violin]

[_sssss]

@Archer, май сме само ние засега.
Втора определено ти е по-вярна от моята. Вобще не съм се сетила, че могат да се подредят така. Един вид искаме да ги наместим във вписан многоъгълник с max лице и да докажем, че то е < 3.
Ох, дано ми дадат точица за идеята.

[vicho]

Ето ги и задачите за 11 клас от втория ден:
Аз успях да реша само първата :/ Получих [tex]{a=\sqrt{2+\sqrt{5} }[/tex]

[To6o]

До Archer. Здравей. Би ли ми обяснил как си решил 1ва за 12ти клас? Защото аз само успях да намеря един интервал в който е заключен Х , но не мога да намеря ь

По втората и аз се сетих за тази идея, но не знам защо реших, че едва ли са разположени така и се отказах. Все още се издирва някой решил трета Давайте народе. Между другото и днес задачите не бяха по-лесни :/ или поне на мен ми се сториха труднички. На 1вата след 2 часа решаване и 5 листа намерих само АВ и се отказах :/ Дано поне 1 точка да дадат. Предварително благодаря ако ми решите 1ва

[mkmarinov]

10 клас, втори ден
Задача 4. Нека [tex]f(x)=x^2+(2a-1)x-3[/tex] и [tex]g(x)=x^2+(a-2)x-1[/tex], където a е реален параметър. Да се намерят всички стойности на a, за които корените на уравненията [tex]f(x)=0[/tex] и [tex]g(x)=0[/tex] са разположени така, че между двата корена на едното има точно един на другото.

Задача 5. В триъгълник ABC е известно, че [tex]2\angle BAC + 3\angle ABC=180^\circ [/tex]. Да се докаже, че [tex]4(BC+CA)\le 5AB[/tex].

Задача 6. Нека n е произволно естествено число и [tex]N=n(n+1)(n+2)(n+3)[/tex]. Да се докаже, че не съществува цяло m такова, че [tex]N+m^9=2008[/tex].

[NoThanks]

Тая 6та май е доста лесна Ясно е, че числа от вида n(n+1)(n+2)(n+3) се делят на 6., а последната цифра на такива числа е 6,2,8,4,0. => като извадим от 2008-N се получава четно => m^9 четно и m^9<2008 => само m=2. => 512=2008-N => N=1496 което не се дели на 6

[mkmarinov]

Ами m<0?
Почнах я с деление на 8 (N се дели на 8, 2008 също => m=8k). След това получавам [tex]\frac{N}{8}+8^8.k^9=251[/tex]. Ако се намери общ множител на [tex]\frac{N}{8}[/tex] и k задачата е решена (251 е просто).

[Is it black or white?]

[violin]

[_sssss]

12 клас, Втори ден.

Задача 4. В [tex]\normal\Delta ABC[/tex] (AC<BC) с лице [tex]\normal 20\sqrt{3}[/tex] точките [tex]\normal M[/tex] и [tex]\normal I[/tex] са съответно медицентър и център на вписаната окръжност. Отсечката [tex]\normal MI[/tex] има дължина [tex]\normal 1[/tex] и е успоредна на [tex]\normal AB[/tex]. Да се намерят дължините на страните на триъгълника.

Задача 5. Нека [tex]n[/tex] е естествено число. Да се докаже, че:
a) [tex]\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i(i+x)}=1[/tex] има единствено неотрицателно решение [tex]x_{\small n}[/tex].

б) редицата с общ член [tex]x_{\small n}[/tex] е сходяща и да се намери нейната граница.

Задача 6. Да се намерят всички двойки [tex](a, b)[/tex] от естесвени числа такива, че [tex]n^2 +n + 1[/tex] дели [tex](an + 1)^{10} + b[/tex] за всяко естесвено число.

[mkmarinov]

Четвърта на десети клас е лесна, корените са разположени през един тогава и само тогава когато пресечната графика на двете функции е с отрицателна ордината. Дискриминантите са винаги положителни. Получавам [tex]a \in (2-\sqrt{5};2+\sqrt{5})[/tex].
Втора със синусова теорема в АВС; изразяваш AC и BC чрез АВ и двата ъгъла при основата и остава да се докаже, че [tex]\frac{sin\alpha + sin\beta }{sin(\alpha + \beta )} < \frac{5}{4}[/tex]. Малко тригонометрия+Йенсен и излиза.

[Is it black or white?]

Аз пък днеска "търчах" от областния към Великденското като луд, запъхтян влизам и разпитвам охраната в коя стая съм, мн беше забавно , иначе на областния 1-ва ми се струва, че не е чак толкова трудно, но не я довърших, нямах време, дано дадат точки за идея, на 2-ра си нямах представа какво се прави , 3-та мисля да си я огледам вкъщи, защото изглеждаше мн интересна

[Donatello]

А на 11 клас първа задача за [tex]a = \sqrt{2+\sqrt{5} } [/tex] ли получавате,че има такива корени ? И някакви идеи за втора и трета, че там ми е пълна мъгла

[naitsirk]

абсолютно вярно
по втора аз получих [tex]a_{3}=6[/tex]

[Donatello]

а как го получи ?

[naitsirk]

1-во очевидно е, че [tex]a_3>5[/tex]. И реших да разгледам случея [tex]a_3=6[/tex].
Лесно се съобразява, че в такъв случай [tex]a_{n+1}=a_{n}(a_{n}+1)[/tex]. Сега на даденото равенство умножавам k-тото събираемо с [tex]a_{k}[/tex] и използвайки полученото равенство за [tex]a_{n+1}[/tex] се получава, че равенството е еквивалентвно на:
[tex]\frac{a_1}{a_2 }+\frac{a_2}{a_3 }+....+\frac{a_{2008}}{a_{2009} }+\frac{1}{a_{2009} } =1 [/tex]
Сега като съберем последните 2 числа и използвайки отново ревенството [tex]a_{n+1}=a_{n}(a_{n}+1)[/tex] намираме, че [tex]\frac{a_{2008}}{a_{2009} }+\frac{1}{a_{2009} }=\frac{1}{a_{2008} } [/tex] и тази процедура я извършваме многократно по аналогичен начин и получаваме, че:
[tex]\frac{a_1}{a_2 }+\frac{a_2}{a_3 }+....+\frac{a_{2008}}{a_{2009} }+\frac{1}{a_{2009} } =\frac{a_1}{a_2 }+\frac{1}{a_2 } [/tex] и като заместим със стойностите от условието намираме, че това е 1, т.е. [tex]a_3=6[/tex] изпълнява условието на задачата

[martosss]

[naitsirk]

по 1-ва
3 корена за a>2
[tex]x_1=log_{2}\frac{a-\sqrt{a^2-4} }{2 },x_2=log_{2}\frac{a+\sqrt{a^2-4} }{2 },x_3=log_{2}a [/tex]
Очевидно, че за a>2 корените по големина са наредени както съм ги написал и сега просто свойсво на аритметична прогресия
ПП: мартосссс на 2-ра използваме едно и също свойство, но на мен ми се струва, че е вярно само за [tex]a_3=6[/tex]

[Пафнутий]

За последната на 10 клас мисля, че ще стане по модул 19 Поне като я видях така мисля, ама ме мързи да проверявам 10 случая

[Bgtop100]

На 1ва и аз съм получил колкото phoenix. А по 3-та вижте аз как я реших:


За нататък всъщност не съм много сигурен точно как трябва да се продължи ;/

[Donatello]

[Пафнутий]

[Bgtop100]

[Пафнутий]

Достигнал си до [tex](2c-a+b)(2c+a-b)=3(a+b)^2[/tex] Пробва ли да докажеш, че двата множителя от ляво са взаимнопрости?

[mkmarinov]

Шеста на десети клас (по-добре късно отколкото никога!):
n(n+1)(n+2)(n+3) се дели на 10, освен когато n=1. (Проверяваме и виждаме, че n=1 не е решение).
Разглеждаме по модул 10 (като имаме предвид, че m=8k):
[tex]8^9.k^9 \equiv 8 (mod 10)[/tex]
[tex]8^8.k^9 \equiv 1 (mod 10)[/tex]
Искаме четно число да е сравнимо с 1 по модул 10. Трудно .

.......
Всъщност, не винаги се дели на 10. Не се дели на 10 само когато n=5p+1.

[Predator]

Има ли ги решенията в някой сайт?