Национална олимпиада по математика 4-8 клас

[m1t3]

Нека тук публикуваме всички задачи от 4 до 8 клас за националната олимпияда по математика (областен кръг)

[Реклама]

[m1t3]

Скоро ще пусна и решенията заедно с останалите задачи за 4, 5 и 6 клас

[Малкият ученик]

По задача 4.1 мисля, че решението е следното:

А числото, означено с * е 3.

[soldier_vl]

8.1 намирам отговор нула корена при а≠б≠с и един корен при а=б=с. Това ли е отговора??

[Pinetop Smith]

[Pinetop Smith]

Два общински кръга от Хасково, вторият е тазгодишният.

***

Първа задача.

а) Да се намерят стойностите на a, b, c, удовлетворяващи равенството

a² - 2a + 1 + |b-c-5| + |c| = 0

б) При така намерението стойности на a, b, c да се разложи на множители многочлена

M = a(ax² + bx + c)² + (b+5a)(ax² + bx + c) + (b-3c)² - 1

Втора задача.

В правоъгълния триъгълник АВС, [tex]\angle [/tex] ABC = 90 [tex]^\circ [/tex], AC < BC са построени височината CH и ъглополовящата CL. Върху BC е избрана точка Р така, че ВР = СВ-СА. Права АР пресича СН в точка М. Да се намери СМ, ако AL = 10 см.

Трета задача.

а) Да се разложи на множители многочлена

A = 3a² + ab + 15a + 4b + 12

Да се докаже, че ако b = 6, то за всяко цяло а, А се дели на 6.

б) Да се докаже, че числото B = a² + b² + c² - ab - ac - bc не е отрицателно за никое a, b, c.

***

Първа задача.

Решете уравнението :

(4x - 3)/12 - (2x - 4)²/4 + 1/4 = [x(1-3x)]/3
и проверете дали числото

[tex]\alpha[/tex] = (5.2⁸.32² - 3.2².8⁵)/(7.8³.2⁷)

e корен на това уравнение.

Втора задача.

Таня трябвало да подреди определен брой снимки за 12 дни в албум, като подрежда по един и същ брой снимки всеки ден. Тъй като тя подреждала с 40% по-малко на ден от предвиденото, след 15 дни установила, че й остави да подреди още 60 снимки.

а) Колко снимки е трябвало да подреди Таня?
б) По колко снимки на ден е подреждала.

Трета задача.

Равнобедреният триъгълник АВС има основа АВ = с см и ъгъл при върха С, равен на 120[tex]^\circ[/tex]. Точка М лежи на основата АВ, като АМ:МВ = 1/2.

а) Намерете дължината на отсечката СМ.
б) Докажете, че височината в триъгълник АВС, издигната от върха В към правата АС е три пъти по-голяма от височината в триъгълника АМС, спусната от върха М.

Четвърта задача.

В триъгълник със страни a и b, където a ≥ b, височини към тях съответно h_a и h_b, има лице S. Докажете, че:

а) h_a ≤ h_b и ab ≥ 2S
б) a + h_a ≥ b + h_b

Оценяването е както следва:

Първа тема:

1/а - 2т.
1/б - 5т.
2 - 6т.
3/а - 4т.
3/б - 4т.

Втора тема:

1 - 10т.
2/а - 5т.
2/б - 5т.
3/а - 5т.
3/б - 5т.
4/а - 5т.
4/б - 5т.

По мое мнение, четвъртата задача е много интересна. Особено б). Интересно ми е какво ще предложите на нея. 3/а на втората тема е сравнително трудна, 3/б - не, 1 и 2 задача са много лесни. От първата тема много ми харесаха алгебричните задачи, особено 3/б, а геометричната не съм я гледал още.

[Pinetop Smith]

Ето още един областен кръг - този е за осми клас.

Зад. 1

Пътят между две хижи [tex]A[/tex] и [tex]B[/tex] представлява само изкачване и спускане. При изкачването турист се движи със скорост [tex]4km/h[/tex], а при спускането - със скорост [tex]6km/h[/tex]. За [tex]6h[/tex] той изминал пътя от [tex]A[/tex] до [tex]B[/tex], след това се върнал по същия маршрут за [tex]5h 40min[/tex]. Колко километра е пътят от [tex]A [/tex]до [tex]B[/tex]?

Зад. 2

Точките [tex]N[/tex] и [tex]P[/tex] са среди съответно на страните [tex]BC[/tex] и [tex]CD[/tex] на успоредника [tex]ABCD[/tex]. През точка [tex]P[/tex] е построена права [tex]m[/tex], успоредна на [tex]AN[/tex], а през точка [tex]N[/tex] - права [tex]n[/tex], успоредна на [tex]AP[/tex]. Правите [tex]m[/tex] и [tex]n[/tex] се пресичат в точка [tex]Q[/tex]. Да се докаже, че точките [tex]A, C[/tex] и [tex]Q[/tex] лежат на една права.

Зад. 3

Точка [tex]M[/tex] лежи върху диагаонала [tex]BD[/tex] на квадрата [tex]ABCD[/tex], като [tex]BM = \frac{BD}{4}[/tex]. Правата [tex]CM[/tex] пресича [tex]AB[/tex] в точка [tex]N[/tex]. Намерете отношението [tex]\frac{BN}{BC}[/tex].

Всяка задача носи 7 точки.

Ще бъде добре, ако някой даде решенията.

[Pinetop Smith]

След дълго търсене на областния кръг на олимпиадата за 7 клас, най-сетне го намерих от един приятел. Благодаря, Владо!

1 зад. Даден е изразът [tex]A=x^4+(4-p)x^3+(8-4p)x^2-8px[/tex].

a) Ако р = 0, да се докаже, че А ≥ 0.
б) Да се разложи на множители А.
в) Да се разложи на множители [tex]x^4+16x^2+64[/tex]
г) Да се разложи на множители [tex]x^4 + 64[/tex]
д) Да се реши уравнението A = [tex]x^4+64[/tex] относно х(ако р е параметър)
е) Да се намерят всички цели стойности на р, за които уравнението от д) има за решение естествено число.

2 зад. Даден е квадрат ABCD със страна 1 и точки M и N така, че M лежи на АВ и N лежи на AD. В ▲MCN са построени височините CK(К лежи на MN) и NP(Р лежи на МС). Нека СК = 1 и СК ∩ NP = H.

а) Докажете, че DN = NK.
б) Намерете периметъра на ▲ MAN.
в) Намерете мярката на <NCM.
г) Докажете, че MN = CH.

3 зад. Всички цели числа са оцветени в бяло, зелено и червено така, че ако числото х е бяло, то х + 1 е зелено,ако х е зелено, то х + 1 е червено и ако х е зелено, а у - червено, то х + у е бяло. Нека поне едно от всички числа е зелено.

Намерете цвета на целите числа между -6 и 6(включително).

[Pinetop Smith]

Ето и още един общински кръг, този път за 8-ми клас от 1999. Задачите са изключително лесни, би трябвало да ги изядете на една хапка. Повече приличат на класно

[Pinetop Smith]

Още един изключително лесен общински кръг за 8-ми клас(без 2., защото преди не съм се занимавал с функции). Не знам обаче от коя година е, май от 2006. Ако има интерес, ще пусна темите и от 4-7 клас.

[Pinetop Smith]

Ето една тема от 6-ти клас. Открих я случайно, докато си разчиствах шкафовете. Нямам година, самата темичка е написана на ръка от учителя ми. :D

1 зад.

Дадени са пропорциите [tex]a:2 = b:3[/tex] и [tex]b:4 = c:5[/tex]. Да се намерят числата [tex]а[/tex], [tex]b[/tex], и [tex]c[/tex], ако [tex]a+ b + c = 70[/tex].

2 зад.

[tex]\frac{(\frac{1}{6} + 0,1 + \frac{1}{15})(\frac{1}{6} + 0,1 - \frac{1}{15}) }{(0,5 - \frac{1}{3} + 0,25 - \frac{1}{5}):(0,25 - \frac{1}{6})}.\frac{2,22+\frac{7}{24-\frac{2}{3}}}{1-\frac{1}{2+\frac{1}{6}}} = ?[/tex]

3 зад.

Пешеходец изминава разстоянието от 15 км м/у селищата А и В на отиване за 5 ч., като тръгвам от А в 10 ч. сутринта, а на връщане за 3 ч., като тръгва от В в 11 ч. сутринта на другия ден. На какво от разстояние от А е преминал пешеходецът в един и същи час през двата дни и колко е бил този час?

ПП: Първата задача ме кефи - система. За втората се радвам, че никога не ми се е падала такава. :mrgreen: Третата е добра.

[ice_sympathy]

Национална олимпиада по математика - областен кръг - 19.042008г. Тема за седми клас



Задача 1.Дадено е уравнението

2(х-а)(х+а)=5/4(х-а)² + 0,75(х+а)² ,

в което а е параметър.
а)Да се реши уравнението при а=502
б)Да се намерят всички стойности на параметъра а , за които числото 2008 е решение на уравнението.

Задача 2.Даден е триъгълникът АВС, в който ъгъл АСВ = 2 ъгъл ВАС и ъглополовящите на ъгъл ВАС и ъгъл АСВ се пресичат в точката О.

а)Да се докаже,че АО е по-голяма от 1/2 АС.
б)Да се намерят ъглите на триъгълника АВС, ако АО=ВС.

Задача 3.Да се намерят всички естествени числа n,по-големи от 1,за които съществува естествено число,завършващо на 2008,което е точно n-та степен на естествено число.


Това е темата за седми клас,върху която се класирах на първо място. Съжалявам,ако не е много добре написана,но съм нова тук и все още не зная как точно да използвам знаците на форума. По-късно ще кача и решенията и критериите за оценяване,заедно с останалите теми за пети,шести и осми клас.

[Yontcheva]

Николай.Каракехайов,би ли ми казал поста ти от 04.09.2007 за коя олимпиада се отнася, през коя година?

[Pinetop Smith]

За съжаление не знам, на самия лист не пише.

[katrin_vt]

Тема за Седми клас

1 задача. Да се докаже, че ако a+b+c=0, то:
а) a³+b³+c³=3abc
б) 1/5 (a⁵+b⁵+c⁵) = 1/6 (a³+b³+c³)(a²+b²+c²)

2 задача. В остроъгълн триъгълник ABC правата AE е перпендикулярна на AB, а правата AF - на AC, като AE=AB, AF=AC и точките E и F са в различни полуравнини относно страната AC. Да се докажат твърденията:
а) височината през върха А в триъгълника АВС лежи върху медианата през същия връх на триъгълника AEF
б) височината през върха А в триъгълника AEF лежи върху медианата през същия връх в триъгълника АВС.

3 задача. Да се докаже, че не съществуват четири естествени числа, такива че произведението на всеки две от тях, увеличено с 2002, е квадрат на цяло число.

[mousehack]

Извинете,ако може някои да ми обясни как се решава 4 задача от темата за 8 клас-общински кръг от 2006 година, ще съм му много благодарен.

[Pinetop Smith]

Нека отсечките ВМ и АР се пресичат в т. Т. Триъгълниците АСР и МСВ са еднакви(защо?), откъдето <CMT = <CAT и значи МСТА е вписан. Оттук <МСТ = <МТА = 90 и тъй като <MNA + <MTA = 180, то и MTAN е вписан. Оттук <NTM = <NAM = 45, аналогично <QTP = 45 и тъй като <МТР = 90, то точките N, T и Q лежат на една права.

ПП: Че АР и ВМ са равни и перпендикуляри може да се докаже и с ротация на 90 градуса, ама не знам дали си учил еднаквости!

[mousehack]

Само не разбирам,как MCTA е вписан и после как се получава,че <МСТ = <МТА = 90

[Pinetop Smith]

<MCA, не <МСТ

[mousehack]

Ама,как MCTA e вписан.Нали някои четириъгълник,за да е вписан трябва сбора два срещуположни негови ъгъла да е 180°.

[laluli]

ъъъ бихте ли обяснили първата задачка за осми клас?

[Pinetop Smith]

[mousehack]

[мегеец]

Шести клас, Варна

[*RoadRunner*]

1wa zada4a za 8mi klas 2003god:
(a²+b²+c²)x²+2(a + b + c)x+3=0
A=a²+b²+c² B=2(a+b+c) C=3 K=a+b+c
D=K²-AC
=> D=(a+b+c)²-3(a²+b²+c²)=
=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac-3a²-3b²-3c²=
=-a²+2ab-b²-b²+2bc-c²-a²+2ac-c²+a²+b²+c²-a²-b²-c²=
=-(a²-2ab+b²)-(b²-2bc+c²)-(a²-2ac+c²)=
=-(a-b)²-(b-c)²-(a-c)²=
=-((a-b)²+(b-c)²+(a-c)²)
=>D<0:u-to n.r.k
Otg:0

[mitaka2000]

otgovora na 4.1 na 4 klas e


1 2




8 7

9 6

4




3 5

[mitaka2000]

otgovora na 4.1 na 4 klas e

na parvata prava liniq sa 1,9,3
na parviq diagonal sa 1,8,4
na vtoriq diagonal sa 4,7,2
na vtorata prava liniq sa 2,6,5

[Swings]

[quote]
По задача 4.1 мисля, че решението е следното:

А числото, означено с * е 3.

[Камен]

Това е 1ва задача от НОМ Областен кръг гр.Хасково за 8ми клас

зад.1
Графиките на функциите f(x)=|x-2|+a и g(x)=2x+b се пресичат в точка А,
чиято абциса е 1.Графиките на f(x) и g(x) пресичат ординатната ос съответно в точките B и C.Намерете лицето на триъгълника ABC.

.....бихте ли ми написали решението искам да си я проверя.
Утре ще напиша 2ра и 3та и тях да си ги проверя.

Благодаря предварително!!!

[xakerv]

http://www.mon.bg/opencms/export/sites/mon/left_menu/olympiad/exams/09-7kl-math-den1-reshenia.pdf -ето решенията на олимпиадата по математика за 7 клас