Метод на интервалите!!!

[ганка симеонова]

основни положения, когато се решават неравенства с МИ!!!
1) в дясната страна трябва да стои числото 0
2) лявата страна да е разложена на максимален брой прости множители
3) тогава имаме три възможности за отделните множители:
- прости множители, участващи на нечетна степен. пример:[tex] (x-2)^{3}[/tex]
- прости множители, участващи на четна степен. пример: [tex] (3x+1)^{4}[/tex]
-неразложими множители (многочлени от четна степен). пример [tex] x^{2}+x+3 [/tex] или [tex] 2x^{4}-x^{2}+2 [/tex]
ще разгледам множител от първия вид:
[tex] (x-2)^{3}[/tex] заради нечетността на степенния показател, този множител сменя знака си, в своя корен.
[tex] (x-2)^{3}<0=>x\in (-\infty ;2)[/tex]
[tex] (x-2)^{3}>0=>x\in (2;+\infty )[/tex]
затова, когато отбелязваме знаците от ляво и от дясно на корените на такива множители, ние ги редуваме!!!
да разгледаме множител от втори вид:
[tex] (x-2)^{2}\ge 0[/tex] за всяко х!!!! това е характеристиката на всеки такъв множител. сега да решим останалите неравенства:
[tex] (x-2)^{2}>0 =>x\ne 2 =>x\in (-\infty ;2)\cup (2;+\infty )[/tex]
виждаме, че този множител не сменя знака си от ляво и дясно на своя корен!!!
[tex] (x-2)^{2}<0 =>[/tex] неравенството няма решение
[tex] (x-2)^{2}\le 0=>x=2 [/tex] може да се изпълни само като равенство
основно правило: когато участва множител на четна степен, да се прецени, дали коренът му е решение на неравенството
когато имаме неразложим многочлен от по- висока степен( той няма реални корени), този многочлен има постоянен знак,който зависи от знака на коефициента пред старшата степен. такъв множител е строго положителен или строго отрицателен!
примерна задача. да се реши неравенството:
[tex] (x^{2}+x+1)(x-2)(x-3)^{2}(x-4)\ge 0[/tex]
установяваме че квадратния тричлен няма корени. тогава той има постоянен знак, който съвпада със знака на числото пред втората степен. =>
[tex](x^{2}+x+1)>0[/tex] за всяко х и го махаме от неравенството. тогава остатъкът от неравенството запазва своя знак. ако квадратния тричлен беше отрицателен, махайки го, остатъкът от неравенството щеше да смени посоката си! =>
[tex](x-2)(x-3)^{2}(x-4)\ge 0[/tex]
заемаме се с множителят от четна степен.т.к. неравенството е нестрого, това позволява лявата страна да става 0=>[tex] x=3[/tex] Е РЕШЕНИЕ!!!!
на числовата ос отбелязваме само корените на множителите от нечетна степен, т.е.
[tex] x=2; x=4[/tex] започваме редуване на знаците от дясно на ляво. в случая започваме с "+". защриховаме плюсовите интервали и получаваме:
[tex] (-\infty ;2]\cup [4; +\infty ) [/tex]
но си спомняме, че [tex] x=3 [/tex] Е РЕШЕНИЕ!!! тогава окончателно получаваме:
[tex] x\in (-\infty ;2]\cup[/tex] {3}[tex]\cup [4;+\infty )[/tex]

задачи. да се решат неравенствата:
[tex] (-x^{2}-2x-10)(x-1)(x-2)^{2}(x-3)>0 [/tex]
[tex] (x^{4}+3x^{2}+10)(x^{2}-x-2)(x^{2}-5x+6)\ge 0 [/tex]

[Реклама]

[ZAX]

Да видим какво съм разбрал


[tex] (-x^{2}-2x-10)(x-1)(x-2)^{2}(x-3)>0 [/tex]

[tex] -(x^{2}+2x+10)(x-1)(x-2)^{2}(x-3)>0 [/tex]

[tex] (x^{2}+2x+10)(x-1)(x-2)^{2}(x-3)<0 [/tex]

[tex] (x^{2}+2x+10)<0 [/tex] няма решение

[tex] (x-2)^{2}<0 [/tex] няма решение

[tex] (x-1)(x-3)<0 [/tex]

[tex] x=1; x=3[/tex] започваме редуване на знаците от дясно на ляво. в случая започваме с "-". защриховаме плюсовите интервали и получаваме:
[tex] (1;3) [/tex]
няма други решения и окончателно получаваме:
[tex] x\in (1;3) [/tex]


[tex] (x^{4}+3x^{2}+10)(x^{2}-x-2)(x^{2}-5x+6)\ge 0 [/tex]

[tex] (x^{4}+3x^{2}+10)=0 [/tex] полагаме [tex] x^{2}=y [/tex]

[tex] y^{2}+3y+10=0 [/tex] няма решение

[tex] (x^{4}+3x^{2}+10)>0 [/tex] за всяко х

[tex] (x^{2}-x-2) [/tex] имаме [tex] x=2 [/tex] и [tex] x=-1 [/tex]

[tex] (x^{2}-5x+6) [/tex] имаме [tex] x=2 [/tex] и [tex] x=3 [/tex]

т.е. [tex] x=-1; x=2; x=3 [/tex] започваме редуване на знаците от дясно на ляво. в случая започваме с "+" . защриховаме плюсовите интервали и получаваме:
[tex] [-1;2]\cup [3; +\infty ) [/tex]

окончателно получаваме:
[tex] x\in [-1;2]\cup [3; +\infty ) [/tex]


P.S. Силно се надявам, ако имам някаква грешка или направо не съм разбрал нещата, някой да го забележи в рамките на 2 часа, защото след това отивам на изпит, а все още не мисля че съм наясно с неравенствата

[gvateva]

Отговорът на първото неравенство не е правилен. Вярното е
[tex] x\in (1;2)\cup (2;3) [/tex]

[gvateva]

И при второто не е съвсем наред с интервалите. Аз получавам
[tex] x\in (-\infty ;-1]\cup [3;+\infty ) [/tex]

Ако си избера числото [tex] 0[/tex] например от твоя първи интервал, който е посочен за отговор, не получавам вярно числово неравенство. Ей така правя директна проверка и тя не издържа. Поправи ги.

[martosss]

По-долу съм дал самия файл, можете да го източите оттам.

[ZAX]

[martosss]

Смятам да кача самия файл, защото като гледам линкът едва го източих и сигурно и други потребители ще имат същия проблем.
Enjoy!

[mkmarinov]