Trigonometric equation sin^4x+cos^4x=sin2x - 1/2

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sin^4x+cos^4x=sin2x - 1/2

10x

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[tex]sin^{4 }x + cos^{4 }x[/tex]= sin(2x) -[tex]\frac{1}{2}[/tex]

[tex]( sin^{2 }x + cos^{2 }x )^{2 }[/tex] -2[tex]sin^{2 }x. cos^{2 }x[/tex] =2sinxcosx -[tex]\frac{1}{2}[/tex]

2[tex](sinx.cosx)^{2 }[/tex] +2(sinx.cosx) -[tex]\frac{3}{2}[/tex]=0
a=sinx.cosx
4[tex]a^{2 }[/tex]+4a-3 =0 [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]a_{1 }[/tex]= [tex]\frac{1}{2}[/tex] , [tex]a_{2 }[/tex]= -[tex]\frac{3}{2}[/tex]

(|) sinx.cosx =[tex]\frac{1}{2}[/tex] , (||) sinx.cosx = -[tex]\frac{3}{2}[/tex]

(|) sinx= [tex]\frac{1}{2cosx}[/tex]
[tex]sin^{2 }x + cos^{2 }x[/tex]=1 ; [tex]\frac{1}{4 cos^{2 }x }[/tex] +[tex]cos^{2 }x[/tex]=1 ; 4[tex]cos^{4 }x -4 cos^{2 }x[/tex]+1 =0

[tex](2 cos^{2 }x-1) ^{2 }[/tex]=0 [tex]\Rightarrow[/tex] 2[tex]cos^{2 }x[/tex]=1 ; [tex]cos^{2 }x[/tex] =[tex]\frac{1}{2}[/tex]

cosx =[tex]\frac{ \sqrt{2} }{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]x_{1 }[/tex]=[tex]\frac{ \pi }{4}[/tex] +k[tex]\pi[/tex] ,cosx= -[tex]\frac{ \sqrt{2} }{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] x=90[tex]^\circ[/tex]+45[tex]^\circ[/tex]+k[tex]\pi[/tex]; x=[tex]\frac{ \pi }{2} + \frac{ \pi }{4} +k \pi[/tex]; [tex]x_{2 }[/tex]=[tex]\frac{3 \pi }{4} +k \pi[/tex]

(||) sinx= -[tex]\frac{3}{2cosx}[/tex]
[tex]sin^{2 }x+ cos^{2 }x =1[/tex] ; [tex]\frac{9}{4 cos^{2 }x }[/tex]+[tex]cos^{2 }x[/tex]=1 ;[tex]4cos^{4 }x -4 cos^{2 }x +9=0[/tex]

[tex]4t^{2 }[/tex]-4t+9=0 ; D=4-36<0 [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]x_{3 }[/tex][tex]\in \varnothing[/tex]