[tex]-1=-1[/tex]

[tex]\frac{-1}{1}= \frac{-1}{1}[/tex]

[tex]\frac{-1}{1}= \frac{-1}{1} \cdot \frac{-1}{-1}[/tex]

[tex]\frac{-1}{1}= \frac{1}{-1}[/tex]

[tex]\sqrt{\frac{-1}{1}}=\sqrt{\frac{1}{-1}}[/tex]

[tex]\sqrt{\frac{e^{i \pi } }{e^{i 0 }}}=\sqrt{\frac{e^{i0 }}{e^{i \pi }}}[/tex]

[tex]\sqrt{\frac{e^{i \pi } }{e^{i 0 }}}=\sqrt{\frac{e^{i 2 \pi }}{e^{i \pi }}}[/tex]

[tex]\frac{\sqrt{e^{i \pi }} }{\sqrt{e^{i 0 }}}=\frac{\sqrt{e^{i 2 \pi }}}{\sqrt{e^{i \pi }}}[/tex]

[tex]\frac{\sqrt{e^{i \pi }} }{\sqrt{e^{i 0 }}} \cdot \sqrt{e^{i 0 }}\cdot \sqrt{e^{i \pi }} =\frac{\sqrt{e^{i 2 \pi }}}{\sqrt{e^{i \pi }}} \cdot \sqrt{e^{i 0 }}\cdot \sqrt{e^{i \pi }}[/tex]

[tex]\sqrt{e^{i \pi }} \cdot \sqrt{e^{i \pi }} =\sqrt{e^{i 2 \pi }} \cdot \sqrt{e^{i 0 }}[/tex]

[tex]\sqrt{e^{i \pi } \cdot e^{i\pi}} =\sqrt{e^{i 2 \pi } \cdot e^{i0}}[/tex]

[tex]\sqrt{e^{i 2\pi }} =\sqrt{e^{i 2 \pi }}[/tex]

[tex]e^{i \pi } =e^{i \pi }[/tex]

[tex]-1 =-1[/tex]

$$-1=-1$$ $$\frac{-1}1=\frac 1{-1}$$ $$\sqrt{ \left(\frac{-1} 1\right)} =\sqrt {\left(\frac1{-1} \right)} $$ $$\frac{\sqrt {-1}} {\sqrt {1}}=\frac{\sqrt {1}} {\sqrt {-1}}$$ $$(\sqrt {-1}) ^2=(\sqrt {1}) ^2$$ $$-1=1$$