Векторы
Вектор есть математическим объектом, который имеет величину и направление. Другими словами, это линия заданной длины и проведенная в заданном направлении. Величина вектора есть его длина и обозначающаяся ||.
Если два вектора , проведены в одном и том же направлении, тогда = n. где n - действительное число.
если 0 < n < 1 тогда || < ||
если 1 < n тогда || > ||
если n < 0 тогда || и направление противоположно направлению
Cложение двух векторов осуществляется размещением начала одного вектора к окончанию второго и построением вектора для получения треугольника, как показано на рисунке.
На рисунке внизу показано, как правило параллелограмма используется для построения векторов and который складывается с .
Скалярное произведение векторов
Пусть у нас есть два вектора. Скалярное произведение векторов определяется по формуле:
другие записи для скалярного произведеения есть or
(,)
Результатом скалярного умножения двух векторов всегда есть действительное число.
Свойства скалярного произведения
- =
- n() = (n) = (n) где n есть число
- ( + ) = +
Если угол между двумя векторами , is 90°
тогда = 0, потому что cos(90°) = 0
= ||2 потому что угол между двумя векторами есть 180° и cos(180°) = 1
Задачи с векторами
1) Если = -1., что мы можем сказать об этих двух векторах?
Решение: Эти два вектора параллельны, одинаковой величины и с противоположными направлениями.
2) Чему равно скалярное произведение если || = 5, || = 7 и угол между этими двумя векторами равен 30°
3) Докажите, используя вектора, что для любого треугольника длина одной стороны меньше суммы двух других сторон.