Бином Ньютона

Биноминальное разложение с использованием треугольника Паскаля

Рассмотрим следующие выражения со степенями (a + b)ⁿ, где a + b есть любой бином, а n - целое число.

Каждое выражение - это полином. Во всех выражениях можно заметить особенности.

1. В каждом выражении на одно слагаемое больше, чем показатель степени n.

2. В каждом слагаемом сумма степеней равна n, т.е. степени, в которую возводится бином.

3. Степени начинаются со степени бинома n и уменьшаются к 0. Последний член не имеет множителя a. Первый член не имеет множителя b, т.е. степени b начинаются с 0 и увеличиваются до n.

4. Коэффициенты начинаются с 1 и увеличиваются на определенные значения до "половины пути", а потом уменьшаются на те же значения обратно к 1.

Давайте рассмотрим коэффициенты подробнее. Предположим, что мы хотим найти значение (a + b)⁶. Согласно особенности, которую мы только что заметили, здесь должно быть 7 членов
a⁶ + c₁a⁵b + c₂a⁴b² + c₃a³b³ + c₄a²b⁴ + c₅ab⁵ + b⁶.
Но как мы можем определить значение каждого коэффициента, c_i? Мы можем сделать это двумя путями. Первый метод включает в себя написание коэффициентов треугольником, как показано ниже. Это известно как Треугольник Паскаля:

Есть много особенностей в треугольнике. Найдите столько, сколько сможете.
Возможно вы нашли путь, как записать следующую строку чисел, используя числа в строке выше. Единицы всегда расположены по сторонам. Каждое оставшееся число это сумма двух чисел, расположенных выше этого числа. Давайте попробуем отыскать значение выражения (a + b)⁶ путем добавления следующей строки, используя особенности, которые мы нашли:

Мы видим, что в последней строке

первой и последнее числа 1;
второе число равно 1 + 5, или 6;
третье число это 5 + 10, или 15;
четвертое число это 10 + 10, или 20;
пятое число это 10 + 5, или 15; и
шестое число это 5 + 1, или 6.

Таким образом, выражение (a + b)⁶ будет равно
(a + b)⁶ = 1a⁶ + 6a⁵b + 15a⁴b² + 20a³b³ + 15a²b⁴ + 6ab⁵ + 1b⁶.

Для того, чтобы возвести в степень (a + b)⁸, мы дополняем две строки к треугольнику Паскаля:

Тогда
(a + b)⁸ = a⁸ + 8a⁷b + 28a⁶b² + 56a⁵b³ + 70a⁴b⁴ + 56a³b⁵ + 28a²b⁶ + 8ab⁷ + b⁸.

Мы можем обобщить наши результаты следующим образом.

Бином Ньютона с использованием треугольника Паскаля

Для любого бинома a+ b и любого натурального числа n,
(a + b)ⁿ = c₀aⁿb⁰ + c₁a^n-1b¹ + c₂a^n-2b² + .... + c_n-1a¹b^n-1 + c_na⁰bⁿ,
где числа c₀, c₁, c₂,...., c_n-1, c_n взяты с (n + 1) ряда треугольника Паскаля.

Пример 1 Возведите в степень: (u - v)⁵.

Решение У нас есть (a + b)ⁿ, где a = u, b = -v, и n = 5. Мы используем 6-й ряд треугольника Паскаля:
1          5          10          10          5          1
Тогда у нас есть
(u - v)⁵ = [u + (-v)]⁵ = 1(u)⁵ + 5(u)⁴(-v)¹ + 10(u)³(-v)² + 10(u)²(-v)³ + 5(u)(-v)⁴ + 1(-v)⁵ = u⁵ - 5u⁴v + 10u³v² - 10u²v³ + 5uv⁴ - v⁵.
Обратите внимание, что знаки членов колеблются между + и -. Когда степень -v есть нечетным числом, знак -.

Пример 2 Возведите в степень: (2t + 3/t)⁴.

Решение У нас есть (a + b)ⁿ, где a = 2t, b = 3/t, и n = 4. Мы используем 5-й ряд треугольника Паскаля:
1          4          6          4          1
Тогда мы имеем

Разложение бинома используя значения факториала

Предположим, что мы хотим найти значение (a + b)¹¹. Недостаток в использовании треугольника Паскаля в том, что мы должны вычислить все предыдущие строки треугольника, чтобы получить необходимый ряд. Следующий метод позволяет избежать этого. Он также позволяет найти определенную строку - скажем, 8-ю строку - без вычисления всех других строк. Этот метод полезен в вычислениях, статистике и он использует биномиальное обозначение коэффициента .
Мы можем сформулировать бином Ньютона следующим образом.

Бином Ньютона с использованием обозначение факториала

Для любого бинома (a + b) и любого натурального числа n,
.

Бином Ньютона может быть доказан методом математической индукции. Она показывает почему называется биноминальным коэффициентом.

Пример 3 Возведите в степень: (x² - 2y)⁵.

Решение У нас есть (a + b)ⁿ, где a = x², b = -2y, и n = 5. Тогда, используя бином Ньютона, мы имеем

Наконец, (x² - 2y)⁵ = x¹⁰ - 10x⁸y + 40x⁶y² - 80x⁴y³ + 80x²y⁴ - 35y⁵.

Пример 4 Возведите в степень: (2/x + 3√x)⁴.

Решение У нас есть (a + b)ⁿ, где a = 2/x, b = 3√x, и n = 4. Тогда, используя бином Ньютона, мы получим

Finally (2/x + 3√x)⁴ = 16/x⁴ + 96/x^5/2 + 216/x + 216x^1/2 + 81x².

Нахождение определенного члена

Предположим, что мы хотим определить тот или иной член термин из выражения. Метод, который мы разработали, позволит нам найти этот член без вычисления всех строк треугольника Паскаля или всех предыдущих коэффициентов.

Обратите внимание, что в биноме Ньютона дает нам 1-й член, дает нам 2-й член, дает нам 3-й член и так далее. Это может быть обощено следующим образом.

Нахождение (k + 1) члена

(k + 1) член выражения (a + b)ⁿ есть .

Пример 5 Найдите 5-й член в выражении (2x - 5y)⁶.

Решение Во-первых, отмечаем, что 5 = 4 + 1. Тогда k = 4, a = 2x, b = -5y, и n = 6. Тогда 5-й член выражения будет

Пример 6 Найдите 8-й член в выражении (3x - 2)¹⁰.

Решение Во-первых, отмечаем, что 8 = 7 + 1. Тогда k = 7, a = 3x, b = -2 и n = 10. Тогда 8-й член выражения будет

Общее число подмножеств

Предположим, что множество имеет n объектов. Число подмножеств, содержащих k элементов есть . Общее число подмножеств множества есть число подмножеств с 0 элементами, а также число подмножеств с 1 элементом, а также число подмножеств с 2-мя элементами и так далее. Общее число подмножеств множества с n элементами есть
.
Теперь давайте рассмотрим возведение в степень (1 + 1)ⁿ:
.
Так. общее количество подмножеств (1 + 1)ⁿ, или 2ⁿ. Мы доказали следующее.

Полное число подмножеств

Полное число подмножеств множества с n элементами равно 2ⁿ.

Пример 7 Сколько подмножеств имеет множество {A, B, C, D, E}?

Решение Множество имеет 5 элементов, тогда число подмножеств равно 2⁵, или 32.

Пример 8 Сеть ресторанов Венди предлагает следующую начинку для гамбургеров:
{кетчуп, горчица, майонез, помидоры, салат, лук, грибы, оливки, сыр}.
Сколько разных видов гамбургеров может предложить Венди, исключая размеры гамбургеров или их количество?

Решение Начинки на каждый гамбургер являются элементами подмножества множества всех возможных начинок, а пустое множество это просто гамбургер. Общее число возможных гамбургеров будет равно

. Таким образом, Венди может предложить 512 различных гамбургеров.