Предишната тема :: Следващата тема |
Автор |
Съобщение |
eli7ooooo Начинаещ
Регистриран на: 29 Mar 2008 Мнения: 38
|
Пуснато на: Sat May 09, 2009 11:55 am Заглавие: Функции на комплексни променливи |
|
|
някой може ли да ми помогне нищо не разбирам ... имам да реша поне 10 такива задачи ... ако може някой да ми обясни поне една....
Да се намери аналитичната функция [tex]w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)[/tex] по зададена реална или имагинертна част:
[tex]v(y,x)=e^x(xsiny+ycosy)[/tex]
отг: [tex]f(z)=ze^z+C[/tex]
а дръгия вид задачи са :
Като използвате формулата на Коши пресметнете интегралите:
[tex]\int_{L}^{ } \frac{1}{(z^2-1)^2} dz[/tex]
L : |z+1+i|=[tex] \sqrt{2} [/tex]
отг:[tex]\frac{\pi }{2 }i [/tex] |
|
Върнете се в началото |
|
|
Реклама
|
Пуснато на: Заглавие: Реклама |
|
|
|
|
Върнете се в началото |
|
|
gdimkov Напреднал
Регистриран на: 21 Jun 2008 Мнения: 413 Местожителство: София гласове: 17
|
Пуснато на: Fri May 15, 2009 8:16 pm Заглавие: |
|
|
Уравнения на Коши-Риман:
[tex]\frac {\partial u}{\partial x}=\frac {\partial v}{\partial y}[/tex]
[tex]\frac {\partial u}{\partial y}=-\frac {\partial v}{\partial x}[/tex]
[tex]\frac {\partial v}{\partial y}=e^x(xcosy+cosy-ysiny)=\frac {\partial u}{\partial x}[/tex]
[tex]u(x,y)=\int_{}^{ } e^x(xcosy+cosy-ysiny)dx +C=e^x(xcosy-ysiny)+C[/tex]
[tex]u(x,y)+iv(x,y)=e^x[xcosy-ysiny+C+i(xsiny+ycosy)]=[/tex]
[tex]=e^x[(xcosy+ixsiny)+iy(cosy+isiny)]=e^x[(x+iy)(cosy+isiny)]=e^xe^{iy}(x+iy)=ze^z[/tex]
За известно време забравяме за константата С и я добавяме накрая.
Дано това решение да не идва твърде късно. |
|
Върнете се в началото |
|
|
Flame Редовен
Регистриран на: 24 Mar 2009 Мнения: 213 Местожителство: София гласове: 16
|
Пуснато на: Sat May 23, 2009 10:10 am Заглавие: Re: Функции на комплексни променливи |
|
|
eli7ooooo написа: | някой може ли да ми помогне нищо не разбирам ... имам да реша поне 10 такива задачи ... ако може някой да ми обясни поне една....
Да се намери аналитичната функция [tex]w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)[/tex] по зададена реална или имагинертна част:
[tex]v(y,x)=e^x(xsiny+ycosy)[/tex]
отг: [tex]f(z)=ze^z+C[/tex]
а дръгия вид задачи са :
Като използвате формулата на Коши пресметнете интегралите:
[tex]\int_{L}^{ } \frac{1}{(z^2-1)^2} dz[/tex]
L : |z+1+i|=[tex] \sqrt{2} [/tex]
отг:[tex]\frac{\pi }{2 }i [/tex] |
Ето и втората задача.
За да я решим ни е необходима формулата на Коши в следния вид.
Нека е даден интеграл с особени точки и област която съдържа тези особени точки. Съгласно ГЕНИЯ Коши решението се дава с формулата:
[tex]\int_{L}^{}\frac{f(z)}{(z-a)^{(n+1)} }dz=\frac{2.\pi.i }{n!} f^{(n)}(a)[/tex]
където:
а е n+1 кратна особена точка
[tex]f^{(n)}(z)[/tex] e n-та производна
[tex]f^{(n)}(a)[/tex] е производната заместена с а
За да не настъпи объркване [tex] f^{(0)}(z)=f(z)[/tex]- това е самата функция.
Можем да започнем да решаваме:
[tex]\int_{}^{ }\frac{1}{(z^2-1)^2}dz[/tex]
Интеграла се решава по кривата:
[tex]L : |z+1+i|=\sqrt{2} [/tex], ние трябва да проверим особените точки дали попадат в този затворен контур:[tex]|z+1+i|<\sqrt{2} [/tex]
[tex](z^2-1)^2=(z-1)^2.(z+1)^2[/tex]->z=1 и z=-1 са двукратни особени точки.
Да заместим особените точки в областта:[tex]|z+1+i|=\sqrt{2} [/tex]
За z=1
[tex]|1+1+i|<\sqrt{2}[/tex]-това не е вярно (в тези точки според Коши решението е 0 )
За z=-1
[tex]|-1+1+i|<\sqrt{2}[/tex]-това е вярно (в тези точки според Коши решението се дава с формулата по-горе)
И Така:
[tex]\int_{}^{ }\frac{1}{(z^2-1)^2}dz= \int_{}^{ }\frac{\frac{1}{(z-1)^2}}{(z+1)^2}dz[/tex]-> [tex]f(z)=\frac{1}{(z-1)^2} [/tex]
Съгласно формулата трябва да намерим първата производна n=1
[tex]f'(z)=-\frac{2}{(z-1)^3}[/tex]
От където:
[tex]\frac{2.\pi.i }{n!} f^{(n)}(a)= \frac{2.\pi.i }{1!} f^{(1)}(-1)= \frac{2.\pi.i }{1!}(-1).\frac{2}{(-1-1)^3}= \frac{2. 2.\pi.i }{2^3}= \frac{\pi i}{2} [/tex]
ПП Не са трудни пресмятанията, но не малко неща трябва да се съобразят, успех...
|
|
Върнете се в началото |
|
|
gdimkov Напреднал
Регистриран на: 21 Jun 2008 Мнения: 413 Местожителство: София гласове: 17
|
Пуснато на: Mon May 25, 2009 11:14 am Заглавие: |
|
|
Много ми е приятно да видя това решение. Искам само да нправя едно терминологично уточнение. Ако f(z) е аналитична в област, съдържаща кръга [tex]|z-a|\leq r[/tex],
[tex]f(a)=\frac {1}{2\pi i}\int_{|z-a|=r}^{ } \frac {f(z)dz}{z-a}[/tex]
се нарича интегрална формула на Коши. При следващата стъпка се получават така наречените интегрални формули за производните.
[tex]f^{(n)}(a)=\frac {n!}{2\pi i}\int_{|z-a|=r}^{ } \frac {f(z)dz}{(z-a)^{n+1}}[/tex]
Тези формули ни дават възможност да пресмятаме някои интеграли в комплексна област. |
|
Върнете се в началото |
|
|
d/dx Начинаещ
Регистриран на: 26 Sep 2009 Мнения: 52
гласове: 2
|
Пуснато на: Sat Sep 26, 2009 10:55 am Заглавие: |
|
|
А и не само в комплексната област. Много от "нерешимите" интеграли, като тези на Поасон, Френел и Дирихле, които се появяват в приложенията, са пресметнати именно с помощта на комплексен анализ. |
|
Върнете се в началото |
|
|
MorningEnergy Начинаещ
Регистриран на: 20 Jan 2008 Мнения: 44
гласове: 2
|
Пуснато на: Mon Jan 04, 2010 11:10 pm Заглавие: Re: Функции на комплексни променливи |
|
|
Flame написа: |
И Така:
[tex]\int_{}^{ }\frac{1}{(z^2-1)^2}dz= \int_{}^{ }\frac{\frac{1}{(z-1)^2}}{(z+1)^2}dz[/tex]-> [tex]f(z)=\frac{1}{(z-1)^2} [/tex]
Съгласно формулата трябва да намерим първата производна n=1
[tex]f'(z)=-\frac{2}{(z-1)^3}[/tex]
|
Това не мога да го разбера.
От къде идва вторият интеграл? |
|
Върнете се в началото |
|
|
stflyfisher Напреднал
Регистриран на: 26 Jan 2009 Мнения: 394
гласове: 10
|
Пуснато на: Tue Jan 05, 2010 12:39 pm Заглавие: Re: Функции на комплексни променливи |
|
|
MorningEnergy написа: | Flame написа: |
И Така:
[tex]\int_{}^{ }\frac{1}{(z^2-1)^2}dz= \int_{}^{ }\frac{\frac{1}{(z-1)^2}}{(z+1)^2}dz[/tex]-> [tex]f(z)=\frac{1}{(z-1)^2} [/tex]
Съгласно формулата трябва да намерим първата производна n=1
[tex]f'(z)=-\frac{2}{(z-1)^3}[/tex]
|
Това не мога да го разбера.
От къде идва вторият интеграл? |
От тук:
[tex]\frac{1}{(z^2-1)^2}=\frac{1}{[(z-1)(z+1)]^2}=\frac{1}{(z-1)^2(z+1)^2}=\frac{1}{(z-1)^2}.\frac{1}{(z+1)^2}=\frac{1}{(z-1)^2}:{(z+1)^2}=\frac{\frac{1}{(z-1)^2}}{(z+1)^2}[/tex] |
|
Върнете се в началото |
|
|
MorningEnergy Начинаещ
Регистриран на: 20 Jan 2008 Мнения: 44
гласове: 2
|
Пуснато на: Tue Jan 05, 2010 9:04 pm Заглавие: |
|
|
Е така не си ли губи смисала на намирането на обособените точки?
А как ще се реши интеграла от тази тема:
http://www.postimage.org/image.php?v=gxSCBR9
Тук точките са z=0 и z=2 като и двете се намират в кръга.
После какво правим? |
|
Върнете се в началото |
|
|
baceto Начинаещ
Регистриран на: 06 Jan 2010 Мнения: 2
|
Пуснато на: Thu Jan 07, 2010 11:34 am Заглавие: |
|
|
Ей мн благодаря и аз това е мн полезно |
|
Върнете се в началото |
|
|
gdimkov Напреднал
Регистриран на: 21 Jun 2008 Мнения: 413 Местожителство: София гласове: 17
|
Пуснато на: Thu Jan 07, 2010 11:56 am Заглавие: |
|
|
Има два начина. Единият - като се използва теорема за резидуумите.
Вторият начин е по примера от предната задача, като се разложи подинтегралната функция на събираеми. А именно
[tex]\frac {e^{2z}}{z^2(z-2)}=-\frac {e^{2z}}{2z^2}-\frac{e^{2z}}{z}+\frac {e^{2z}}{z-2}[/tex]
и се решават три интеграла. |
|
Върнете се в началото |
|
|
|