Примерна тема

martosss · Пуснато на: Tue May 05, 2009 3:45 pm Заглавие:

Аз пък пета я реших по друг начин:
Нека Н е петата на височината от С, а пък О е ц. на оп. окръжност.
първо от $\Del AOH$ намираме $AH=\sqrt{R^2-4r^2}$
После от $\Del AHC$ намираме $AC=BC=\sqrt{2R^2+4rR}$
Сега имаме $S_{ABC}=pr=\frac{AB*CH}{2}$ откъдето
$(\N 2AC+\N 2AH)*r=\N 2AH*(R+2r)$
$AC*r=AH(R+r)$
$\sqrt{2R^2+4rR}*r=\sqrt{R^2-4r^2}*(R+r)$ и сега повдигаме на квадрат, опростяваме и получаваме
$R^4+2rR^3-5r^2R^2-12Rr^3-4r^4=0$ и делим на $R^4$ след което полагаме $\frac{r}{R}=x$
$4x^4+12x^3+5x^2-2x-1=0$ и сега от Хорнер разлагаме до
$(x-0.5)^2(x^2+2x-1)=0$
Оттук от второто намираме $x=\frac{-2\pm 2\sqrt{2}}{2}=-1\pm \sqrt{2}$
Сега отрицателният корен отпада, след което се сещаме, че $x=\frac{r}{R}$ , а ние търсим $\frac{2r}{R}$ , тоест умножаваме по две и получаваме $cos\gamma =2(\sqrt{2}-1)$ Wink

Реклама

r2d2 · Пуснато на: Tue May 05, 2009 6:42 pm Заглавие:

Към зад. 3
Множеството от точки $M(x;y)$ ,за които $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$ e окръжност с радиус R и център $O(a;b)$ .

Това следва от теоремата на Питагор.

Нека $M(x;y)$ е такава, че $\frac {AM}{BM}=2$ , нека $A(0;0) \; B(1;0).$ .

Тогава $AM^2=4BM^2 \Rightarrow x^2+y^2=4[(x-1)^2+y^2] \Rightarrow x^2-8/3x+y^2+4/3=0$

Получихме $(x-\frac{4}{3})^2+y^2=(\frac{2}{3})^2$ , т.е. М е на окръжност с радиус 2/3 и център О(4/3;0).

Ясно е, че макс. лице се достига при ОМ=2/3.

По-важно множеството от точки М, за които АМ/ВМ=k e окръжност! Докажете!