Окръжност и успоредник

Pinetop Smith

Окръжност k минава през върховете А и В на тр. АВС и пресича страните АС и ВС съответно в точки L и N, а М е средата на дъгата LN от k, наамираща се в триъгълника. Правата АМ пресича BL в точка D и BN в точка F, а правата ВМ пресича АL в точка G и AN в точка Е. Да се докаже, че:

а) DE || FG
б) ако четириъгълникът DEFG е успоредник, то той е и ромб.

Ивайло Кортезов, ПМТ 2007

Реклама

Saposto_MM · Пуснато на: Wed Dec 03, 2008 8:45 pm Заглавие:

а) $\angle EAD=\angle NAM={\stackrel{\frown}{MN}={\stackrel{\frown}{LM}=\angle MBL=\angle EBD$ $\Rightarrow$ ABDE е вписан $\Rightarrow$ $\angle FDE= \angle ABE=\angle ABG$ . От друга страна $\angle FAG={\stackrel{\frown}{LM}={\stackrel{\frown}{MN}=\angle GBF$ $\Rightarrow$ ABGF е вписан $\Rightarrow$ $\angle AFG=\angle ABG$ . Но доказахме, че $\angle FDE=\angle ABG$ $\Rightarrow$ $\angle AFG=\angle FDE$ $\Rightarrow$ $DE||FG$
б) $\angle MAG={\stackrel{\frown}{LM}={\stackrel{\frown}{MN}=\angle EAM$ . От това че DEFG е успоредник $\Rightarrow$ ME=GM. От казаното до тук следва, че AM е медиана и ъглополовяща в $\Delta AEG$ , следователно $\angle DMG=90^\circ$ , следователно DEFG е ромб.

Още една задача за окръжност и успоредник:
Ъглополовящата на острия ъгъл A на успоредника ABCD пресича правите CD и BC съответно в точки K и L. Да се докаже, че центърът на описаната около $\Delta CKL$ окръжност и точките D, B и C лежат на една окръжност.

r2d2 · Пуснато на: Sat Jan 03, 2009 7:06 pm Заглавие:

r2d2 · Пуснато на: Sat Jan 03, 2009 7:11 pm Заглавие:

Aз все си седя и чакам някой нещо да реши. Така и нямаше да напиша решение, ако не беше днешното "затворено общество".
http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=7712.

Ми сигурен съм че поне 9-ма от този форум могат да решат зада4ата, ама на кой му дреме!
А тези, които наистина искат да се научат гледат подобни зада4и! Twisted Evil