Състезание на Math10: Примерна Тема

Мирослав Стоенчев

Предлагам следната примерна тема за предстоящото състезание по Математика на math10 за студенти

Задача 1. Да се докаже, че не съществуват $\ 5\$ точки в пространството, такива че разстоянията между всеки две от тях да са нечетни естествени числа.

Задача 2. Нека $n\ge 3$ е естествено число, а $\lambda$ , $\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}$ са реални числа удовлетворяващи равенствата:

$i)$ $\sum_{i=1}^{n}\alpha _{i}=\pi$ , като $\alpha _{i}>0$ за всяко $i=1,2,...,n$
$ii)$ $\lambda.sin\alpha _{i}=\tan\left$\frac{\alpha_{i-1}+\alpha_{i}}{2}\right$+\tan\left$\frac{\alpha_{i}+\alpha_{i+1}}{2}\right$,\$ за $\ i=1,2,...,n,\$ като $\ \alpha_{0}=\alpha_{n},\ \alpha_{n+1}=\alpha_{1}.$

Да се намерят всички стойности на $\lambda$ , за които съществува $n$ -торка $(\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n})$ , удовлетворяваща $i)\$ и $\ ii).$

Задача 3. За всяко естествено число $N,$ означаваме с $\ k(N)\$ минималния брой "дами", които могат да бъдат поставени на шахматна дъска с размери $N\times N,$ така че:
$i)$ никои две дами не се атакуват
$ii)$ всяко поле на дъската се атакува от поне една дама

Да се докаже, че $\ \lim_{N\to\infty}\ \frac{k(N)}{N}=\frac{2}{3}.$

Всяка задача се оценява със 7 точки. Задачите са съставени от М Стоенчев. Надявам се повече студенти да проявят интерес към състезанието.

Реклама

Мирослав Стоенчев · Пуснато на: Sat Mar 22, 2008 1:00 am Заглавие:

Задача 4. Нека $a,b,c$ са реални положителни числа, за които $\ ab+bc+ca=1.$

Да се докаже, че $\ \left\[a+b+c+\sqrt{a^2+1}+\sqrt{b^2+1}+\sqrt{c^2+1}\right\]\sqrt{(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)}\ge 8.$

Задача 5. Нека $a, b, c$ са естествени числа удовлетворяващи равенството $a^{b}+b^{c}=c^{a}.$

a) Да се докаже, че $8$ дели поне едно от числата $a+1,$ $b-1,$ $c-1$
б) Ако $c$ е четно и $8$ не дели $a+1,$ да се определят $a, b, c$

Задача 6. Множеството $A_{n}=\left\{1,2,...,n\right\}$ ще наричаме " $p-$ множество", ако съществуват такива множества $B$ и $C,$ че:
$i)\ B\cap C=\emptyset$
$ii)\ B\cup C=A_{n}$
$iii)\ \sum_{b\in B}b^p=\sum_{c\in C}c^p$

Да се докаже, че за всяко естествено число $p$ съществува такова $n,$ че $A_{n}$ е " $p-$ множество".

Всяка задача се оценява със 7 точки. Задачите са съставени от М Стоенчев. Официално състезанието на math10 за студенти ще стартира в началото на Април.

Мирослав Стоенчев · Пуснато на: Mon Apr 14, 2008 11:04 pm Заглавие:

Задача 7. Нека $A$ е множество от естествени числа със свойството: $\limsup_{N\to \infty}\ \frac{|A\cap \left\{1,2,...,N\right\}|}{N}>0.$
Полагаме $B_{p}=\left\{x_{1}^p+x_{2}^p+\cdots+x_{2^p}^p\ |\ x_1<x_2<...<x_{2^p}\ ;\ x_1, x_2, ... ,x_{2^p}\in A\right\}.$ Да се докаже, че за всяко четно $p$ съществува такова естествено $d,$ че числото $(p!)2^{\frac{p^2-p}{2}}d^p$ се представя като разлика на два елемента от $B_p.$

Infernum · Пуснато на: Thu Apr 17, 2008 9:40 pm Заглавие:

Давай схемите, по които съставяш задачите. Те ще са по интересни за аудиторията. Може и да научим нещо Smile

Иначе всички знаем, че нерешими задачи могат да се копнат от всякъде Wink

Мирослав Стоенчев · Пуснато на: Fri Apr 18, 2008 2:02 pm Заглавие:

Ще помоля участниците да задават въпроси по задачите на ЛС. Решения на задачите ще бъдат изпратени на учениците/студентите, които участват в състезанието.

Infernum · Пуснато на: Fri Apr 18, 2008 11:47 pm Заглавие:

Хаха, човек!!! Много официално си я подкарал тая тема, човек ще вземе да се стресне, чак. Laughing

Все пак това е само дискусионен форум. Rolling Eyes

Аз просто споделям мнението, че ще е интересно да се видят схемите по съставянето, на самите задачи, защото се забелязва, че държиш да посочиш, че ти си ги съставил. Smile