Предишната тема :: Следващата тема |
Автор |
Съобщение |
Fed VIP
Регистриран на: 24 May 2007 Мнения: 1136 Местожителство: София (Русе) гласове: 33
|
Пуснато на: Wed Jun 20, 2007 9:32 pm Заглавие: Старото и новото за кръга и числото Pi |
|
|
Практичесkа геометрия на египтяните и римляните
Всеки ученик изчислява днес дължината на окръжността по диаметъра съвсем по-точно отколкото мъдрите жреци на древната страна на пирамидите или най-добрия архитект на Рим. Древните египтяни смятали, че окръжността е по-дълга от диаметъра 3,16 пъти, а римляните 3,12 пъти, а правилното отношение е 3,14159. Египетските и римските математици установили отношението на дълж. на окръжността към диаметъра не чрез строги геометрични изчисления, както по-късните математици, а го намерили просто чрез опити. Но защо се е получила такава грешка у тях? Нима не са могли да оформят някакъв кръг и после просто да направят измерванията?
Без съмнение, те така и постъпили, но не следва да мислим, че подобен способ непременно дава добър резултат. Представете си, например, ваза с кръгло дъно с диам. 100 мм. Дълж. на окръжността на дъното трябва да бъде равна на 314 мм, но на практика при опитното измерване вие едва ли ще получите тази дължина, защото ако сгрешите само с 1 мм, то ∏ ще се окаже равно на 3,13 или 3,15. А ако вземеме под внимание, че не можем да измерим диам. на вазата напълно точно, то и тук грешка от 1 мм е напълно вероятна, то се убеждаваме, че за ∏ се получава достатъчно широки граници между
313/101 и 315/99
т.е. в десетични дроби между
3,09 и 3,18.
Виждате, че при определянето опитно на ∏ можем да получим резултат, несъвпадащ с 3,14: веднъж получаваме 3,1, друг път 3,12, трети - 3,17 и т.н. Случайно можем да получим и 3,14, но в очите на изчислителя /математика/, това число няма да има по-голяма тежест от другите.
Сега ние знаем че и Архимедовото число 3 1/7 не напълно и точно изразява отнош. на дълж. на окр. към диам. Теоретически е доказано, че това отнош. въобще не може да бъде изразено точно с каквато и да било дроб. Математика от 16 век Лудолф в Лейдене имал търпението да изчисли ∏ с 35 десет. знаци:
3,14159265358979323846264338327950288...
През 1873 Шенкс публикувал числото ∏ с 707 десет. знака. По-късно, през 1946-1947, Фергюсон (Манчестерски университет) и независимо от него Ренч (Вашингтон) изчислили 808 знака. Те открили грешка в изчисленията на Шенкс след 528-я знак.
Ако пожелаем, напримем, да изчислим дълж. на земния екватор с точност до 1см, предполагайки, че знаем неговия диаметър точно, то за това ни е напълно достатъчно да вземем 10 цифри след десет запет., а вземайки 2 пъти повече бихме могли да изчислим дълж. на окр., имаща за радиус раст. между Земята и Слънцето с грешка не повече 0,0001 мм (100 пъти по-малко от дълж. на косъм).
Изключително ясно е показал абсолютната безполезнот дори на първите 100 десетични знака математика Граве. Нека си представим кълбо, радиусът, на който е равен на раст. от Земята до Сириус, т.е. равно на 132.1010 км и напълним това кълбо с микроби, слагайки във всеки мм3 на кълбото 1019 микроби. После разполагаме всички тези микроби на права линия, така че раст. между 2 съседни микроба отново да се равнява на раст. от Земята до Сириус. Приемайки този фантастичен отрязък за диам. на окр. можем да изчислим дълж. на получената гиганантска окръжност с микроскопична точност – до 1/1 000 000 мм взимайки само 100 знака след десет запет на числото ∏.
Не големи стихот. или ярки фрази остават по-дълго в паметта отколкото числата и ето защо за запомняне някакво числово значение на ∏ измисляме особено стихот. или отделна фраза.
Стихотворението на англ. ез. е в 13 думи, последователно даващи 12 зн. след десет. запетая, на немски – 24 думи, на фр. – 13, а има и в 126 думи.
Английското стихотворение е следното:
See I have a rhyme assisting.
My feeble brain, its tasks ofttimes resisting.
Ще се постарая в скоро време да публикувам още интересна информация относно кръга и числото ∏, както и някои примери.
|
|
Върнете се в началото |
|
|
Реклама
|
Пуснато на: Заглавие: Реклама |
|
|
|
|
Върнете се в началото |
|
|
r2d2 VIP
Регистриран на: 28 Feb 2007 Мнения: 1936 Местожителство: in the galaxy (Far Far Away) гласове: 179
|
Пуснато на: Fri Jun 22, 2007 12:42 pm Заглавие: |
|
|
Eто едно друго английско стихотворение:
How I need a drink, alcoholic of course, after the least valuable
discovery anybody important has or had anywhere made.
3,141592653897932384
И едно на руски *=яри; $=мягкий знак!
Ето я знаю и помню прекрасно их многие знаки мне лишн* напрас$ни
|
|
Върнете се в началото |
|
|
Fed VIP
Регистриран на: 24 May 2007 Мнения: 1136 Местожителство: София (Русе) гласове: 33
|
Пуснато на: Fri Jun 22, 2007 4:41 pm Заглавие: |
|
|
r2d2, благодаря за допълнението.
|
|
Върнете се в началото |
|
|
Fed VIP
Регистриран на: 24 May 2007 Мнения: 1136 Местожителство: София (Русе) гласове: 33
|
Пуснато на: Fri Jun 22, 2007 4:52 pm Заглавие: |
|
|
Хвърлените игли
Най-оригиналния и неочакван способ за приблизително изчисление на ∏ се състои в следното: взимате 2-см игла, най-добре с отчупен връх, за да бъде с равномерна дебелина; правим на лист ред тънки успоредни линии на раст. една от др. 2 пъти повече от дълж. на иглата; пускаме от произволна височина иглата и отбелязваме дали тя пресича 1 от линиите или не. За да не подскача иглата подлагаме под листа мек материал. Хвърлянето повтаряме много пъти.
Ако после разделим общия брой хвърляния на броя пресичания ще получим задължително ∏, разбира се много или малко приближено.
Обяснение:
Нека вероятното число на пресичане е К, а дълж. на иглата 20мм. В случай на пресичане вероятното число на пресичане на всеки отделен мм е К/20. За 3-мм участък от иглата вероятността е 3*К/20; за 11-мм– 11*К/20 и т. н. Вероятното число на пресичане е правопропорционално на дълж. на иглата.
Тази пропорционалност се запазва и в случай на пречупена игла:
Нека АВ=11 мм, ВС=9 мм. За АВ вер. число на пресич. е 11*К/20, за ВС – 9*К/20, а за цялата игла 11*К/20 + 9*К/20, т.е. К.
Можем да изкривим иглата като “М”:
Числото на пресичане няма да се промени. При изкривена игла може да имаме 2,3 и т.н. пресичания наведнъж.
Представете си сега, че хвърляме игла изкривена в окръжност с d = раст. м/у чертите. То е 2 пъти по-голямо от нашата игла. Такава окръжност всеки път е длъжна два пъти да пресича някоя от чертите или да се докосне едновременно до двете линии.
Ако общото число на хвърляния е N, то пресичанията са 2N. Нашата права игла е по-малка от това колело по дължина, толкова пъти колкото полудиаметъра е по-малък от окръжноста, т. е. 2∏ пъти. Но ние вече установихме, че вероятното число на пресичане е пропорционално на дълж. на иглата, затова вероятното число на пресичане (К) на нашата игла е длъжно да е по-малко от 2N 2∏ пъти, т. е. N/∏. Оттук
|
|
Върнете се в началото |
|
|
vladob Редовен
Регистриран на: 02 Mar 2007 Мнения: 169 Местожителство: Skopje, Makedonija гласове: 7
|
Пуснато на: Fri Jul 13, 2007 2:53 pm Заглавие: еден, два, три, пи |
|
|
Знаете ли дека
arctg(1)+arctg(2)+arctg(3) = pi
____
(arctg-акустангенс ; величините се во радијани)
|
|
Върнете се в началото |
|
|
Fed VIP
Регистриран на: 24 May 2007 Мнения: 1136 Местожителство: София (Русе) гласове: 33
|
Пуснато на: Wed Jul 18, 2007 11:10 am Заглавие: |
|
|
Интересно...
Може ли да го докажеш?
|
|
Върнете се в началото |
|
|
Fed VIP
Регистриран на: 24 May 2007 Мнения: 1136 Местожителство: София (Русе) гласове: 33
|
Пуснато на: Wed Jul 18, 2007 11:13 am Заглавие: |
|
|
Решаване на окръжност
За много практически цели е достатъчно да вземем ст-ст на ∏ 3 1/7 и да измерим дължината на окръжността (С) чрез налагане на диам. 3 1/7 пъти в/у 1 права. Съществуват и др. приблизителни способи за изчисляване на С.
Ако трябва да измерим С на окр. с център О и радиус r:
Description: |
Метод за измерване на дължина на окръжност. |
|
Големина на файла: |
26.58 KB |
Видяна: |
7128 пъти(s) |
|
|
|
Върнете се в началото |
|
|
r2d2 VIP
Регистриран на: 28 Feb 2007 Мнения: 1936 Местожителство: in the galaxy (Far Far Away) гласове: 179
|
Пуснато на: Wed Jul 18, 2007 2:00 pm Заглавие: |
|
|
Fed написа: | Интересно...
Може ли да го докажеш? |
Ето геометрично доказателство. Синият ъгъл е arctg2, червеният е arctg3.
Description: |
|
Големина на файла: |
17.04 KB |
Видяна: |
7117 пъти(s) |
|
|
|
Върнете се в началото |
|
|
Methuselah VIP
Регистриран на: 17 Feb 2007 Мнения: 1057 Местожителство: София гласове: 20
|
Пуснато на: Wed Jul 18, 2007 2:10 pm Заглавие: |
|
|
nice
|
|
Върнете се в началото |
|
|
Fed VIP
Регистриран на: 24 May 2007 Мнения: 1136 Местожителство: София (Русе) гласове: 33
|
Пуснато на: Wed Jul 18, 2007 3:07 pm Заглавие: |
|
|
cool
|
|
Върнете се в началото |
|
|
r2d2 VIP
Регистриран на: 28 Feb 2007 Мнения: 1936 Местожителство: in the galaxy (Far Far Away) гласове: 179
|
Пуснато на: Wed Jul 18, 2007 3:16 pm Заглавие: |
|
|
thx
|
|
Върнете се в началото |
|
|
Grands Редовен
Регистриран на: 31 Mar 2007 Мнения: 240
гласове: 5
|
Пуснато на: Wed Jul 18, 2007 5:48 pm Заглавие: |
|
|
М, ще обясните ли как се разсъждава. Знам, че аркус-функциите са реципрочни на съответните тригонометрични функции, но от тези два ъгъла не разбирам какво следва.
|
|
Върнете се в началото |
|
|
Fed VIP
Регистриран на: 24 May 2007 Мнения: 1136 Местожителство: София (Русе) гласове: 33
|
Пуснато на: Wed Jul 18, 2007 6:00 pm Заглавие: |
|
|
Ще се опитам да ти го обясня. Дано разбереш.
arctg1 означава ъгълът който има tg=1
arctg2 означава ъгълът който има tg=2
arctg3 означава ъгълът който има tg=3
от чертежа се вижда че tg (черв. <) =3
tg (син <) =2
съобразява се че ъгъла който е заключен м/у синия и червения има tg = 1 => синия+червения+закл. м/у тях=180 => arctg1+arctg2+arctg3=∏
|
|
Върнете се в началото |
|
|
Grands Редовен
Регистриран на: 31 Mar 2007 Мнения: 240
гласове: 5
|
Пуснато на: Wed Jul 18, 2007 6:09 pm Заглавие: |
|
|
Благодаря за обяснението, не разбрах това с съобразяването как става, но нищо. Благодаря пак. Очаквам да продължиш темата, интересно е.
|
|
Върнете се в началото |
|
|
Fed VIP
Регистриран на: 24 May 2007 Мнения: 1136 Местожителство: София (Русе) гласове: 33
|
Пуснато на: Wed Jul 18, 2007 6:23 pm Заглавие: |
|
|
Grands написа: | не разбрах това с съобразяването как става, но нищо. |
Просто е. Ще се опитам и него да обясня.
Правоъг е разделен по ширина на 2, по дълж на 3. Нека тези единични отс. са а. Тогава ширина = 2а, дълж = 3а.
Разглеждаме тр. АВС: АВ=АС=а√5, ВС=а√10 => правоъг и tg(закл. <)=1
Description: |
|
Големина на файла: |
9.53 KB |
Видяна: |
7084 пъти(s) |
|
|
|
Върнете се в началото |
|
|
Grands Редовен
Регистриран на: 31 Mar 2007 Мнения: 240
гласове: 5
|
Пуснато на: Wed Jul 18, 2007 6:26 pm Заглавие: |
|
|
Благодаря много за отделеното време, разбрах го. Решението е доста хитро.
|
|
Върнете се в началото |
|
|
Fed VIP
Регистриран на: 24 May 2007 Мнения: 1136 Местожителство: София (Русе) гласове: 33
|
Пуснато на: Wed Jul 18, 2007 6:28 pm Заглавие: |
|
|
Така е. Всяко решение на r2d2 е хитро!
|
|
Върнете се в началото |
|
|
Irrefutable Напреднал
Регистриран на: 15 Jul 2007 Мнения: 298 Местожителство: София гласове: 5
|
Пуснато на: Wed Jul 18, 2007 10:18 pm Заглавие: Re: еден, два, три, пи |
|
|
vladob написа: | Знаете ли дека
arctg(1)+arctg(2)+arctg(3) = pi
____
(arctg-акустангенс ; величините се во радијани) |
Не но знаеме че:
Лошото е че в това няма никаква полза, тъй като смятането тангенс е с същата сложност колкото смятането на Пи
Всъщност най често се ползват методи като:
Тъй като Простите числа могат да се намерят с Сито на Ератостен.
|
|
Върнете се в началото |
|
|
r2d2 VIP
Регистриран на: 28 Feb 2007 Мнения: 1936 Местожителство: in the galaxy (Far Far Away) гласове: 179
|
Пуснато на: Wed Jul 18, 2007 10:47 pm Заглавие: |
|
|
Една формула, с която π се пресмята достатъчно добре е формулата на Мечин (Мachin Formula):
[tex]\frac {\pi}{4}= 4arctg\frac{1}{5} - arctg\frac{1}{259}[/tex]
Дори на ръка (а така се е смятало до скоро) не е проблем да се сметнат първите 10 знака.
Моята любима формула за ∏ е:
[tex]\pi=\frac{355}{133}[/tex] известна в Индия и Китай от поне 1500 г., която дава ∏с достатъчна за практиката и до ден днешен точност.
|
|
Върнете се в началото |
|
|
Fed VIP
Регистриран на: 24 May 2007 Мнения: 1136 Местожителство: София (Русе) гласове: 33
|
|
Върнете се в началото |
|
|
Irrefutable Напреднал
Регистриран на: 15 Jul 2007 Мнения: 298 Местожителство: София гласове: 5
|
Пуснато на: Wed Jul 18, 2007 11:42 pm Заглавие: |
|
|
@Fed , не бих те помислил за луд, но до 1 милион цифри мога да ги сметна и с моя компютър за около месец. Ето ти първите 200 милиона
http://www.angio.net/pi/piquery
|
|
Върнете се в началото |
|
|
Fed VIP
Регистриран на: 24 May 2007 Мнения: 1136 Местожителство: София (Русе) гласове: 33
|
Пуснато на: Thu Jul 19, 2007 9:16 am Заглавие: |
|
|
r2d2 написа: | Моята любима формула за ∏ е:
[tex]\pi=\frac{355}{133}[/tex] |
Не трябва ли да е [tex]\pi=\frac{355}{113}[/tex]
Irrefutable,
|
|
Върнете се в началото |
|
|
r2d2 VIP
Регистриран на: 28 Feb 2007 Мнения: 1936 Местожителство: in the galaxy (Far Far Away) гласове: 179
|
Пуснато на: Thu Jul 19, 2007 9:26 am Заглавие: |
|
|
Fed написа: | r2d2 написа: | Моята любима формула за ∏ е:
[tex]\pi=\frac{355}{133}[/tex] |
Не трябва ли да е [tex]\pi=\frac{355}{113}[/tex]
Irrefutable, |
да, трябва. Грешка
|
|
Върнете се в началото |
|
|
vladob Редовен
Регистриран на: 02 Mar 2007 Мнения: 169 Местожителство: Skopje, Makedonija гласове: 7
|
Пуснато на: Tue Aug 07, 2007 2:44 pm Заглавие: |
|
|
Формулата
[tex]\pi =\sum_{k=0}^{\infty} \frac{ \frac{4}{8k+1 } - \frac{2}{8k+4} - \frac{1}{8k+5} - \frac{1}{8k+6}}{16^{k}}[/tex]
која е откриена 1995 година од David Bailey, Peter Borwein и Simon Plouffe,
доколку pi се запише во бројна система со основа 16, овозможува пресметка на n-та цифра на бројот pi без претходно наоѓање на претходните цифри.
Другите досега познати методи за да се најде n-та цифра на pi бараат да се пресметаат сите претходни цифри.
|
|
Върнете се в началото |
|
|
xyz Напреднал
Регистриран на: 20 May 2007 Мнения: 319
гласове: 12
|
Пуснато на: Tue Aug 07, 2007 6:14 pm Заглавие: |
|
|
vladob написа: | овозможува пресметка на n-та цифра на бројот pi без претходно наоѓање на претходните цифри. |
Ще дадеш ли явно обяснение за това? До колкото виждам ще трябва да се изчисляват частичните сума [tex]{1 \over 4*1}+{1 \over 4*2}+{1 \over 4*3}+\dots[/tex], за което ще е нужно не малко памет. Освен това ще дадеш ли и къде са публикували резултата си?
|
|
Върнете се в началото |
|
|
vladob Редовен
Регистриран на: 02 Mar 2007 Мнения: 169 Местожителство: Skopje, Makedonija гласове: 7
|
|
Върнете се в началото |
|
|
vladob Редовен
Регистриран на: 02 Mar 2007 Мнения: 169 Местожителство: Skopje, Makedonija гласове: 7
|
Пуснато на: Fri Aug 10, 2007 10:10 am Заглавие: |
|
|
За вежба !
На сличен начин како што Fed и r2d2 докажаа дека arctg(1)+arctg(2)+arctg(3) = pi
докажете дека arctg(1/2)+arctg(1/3) = pi/4
|
|
Върнете се в началото |
|
|
Fed VIP
Регистриран на: 24 May 2007 Мнения: 1136 Местожителство: София (Русе) гласове: 33
|
Пуснато на: Fri Aug 10, 2007 11:04 am Заглавие: |
|
|
Чертежчето е долу.
arctg (<1) = 1/3
arctg (<2) = 1/2
AC = √5.a
BC = √10.a
AB = 5.a
=> cos ACB = -√2/2 => ACB = 135 => <1 + <2 = 45° = pi/4
Description: |
|
Големина на файла: |
11.47 KB |
Видяна: |
6923 пъти(s) |
|
|
|
Върнете се в началото |
|
|
vladob Редовен
Регистриран на: 02 Mar 2007 Мнения: 169 Местожителство: Skopje, Makedonija гласове: 7
|
Пуснато на: Fri Aug 10, 2007 12:06 pm Заглавие: |
|
|
Ok
Но мислев на следното:
Црвениот агол е arctg(1/3), синиот е arctg(1/2), зелениот е pi/4
Description: |
|
Големина на файла: |
7.19 KB |
Видяна: |
6917 пъти(s) |
|
|
|
Върнете се в началото |
|
|
Fed VIP
Регистриран на: 24 May 2007 Мнения: 1136 Местожителство: София (Русе) гласове: 33
|
Пуснато на: Fri Aug 10, 2007 1:00 pm Заглавие: |
|
|
Точно, и така може. Aз задачата я реших по първия начин който ми хрумна без да мисля много много.
|
|
Върнете се в началото |
|
|
|