Помощ за един интеграл

Dark Angel

Здравейте,
вече ставам доста нахален, но цяла вечер ме тормози края на един интеграл.
Интеграла е това....
$\int_{}^{ }\frac{x}{x^{3}-1}.dx$
Докарал съм го донякъде, но след субституция и доста чоплене стигнах до тук....
$....=\frac{1}{ 3} ln(x-1)-\frac{1}{ 3} \int_{}^{ } \frac{x-1}{x^{2}+x+1 }.dx$
Дотук много добре. Обаче след полагане получавам това....
$.... =-\frac{1}{3}\int_{}^{ } \frac{z.dz}{z^{2}+\frac{3}{4}}+\frac{1}{3}-\frac{3}{2 }\int_{}^{ }\frac{dz}{z^{2}+\frac{3}{4} }$
$z=x+\frac{1}{2}$
Всичко хубаво... ясно ми е, че едното е $ln$ а другото $arctan$ , но ме тормози как точно става. Имам и отговора на задачата и предполагам, че щом съм стигнал до тк бих могъл да спестя последния ред. Обаче все пак ми се иска да разбера какво точно се случва нататък.
Предварително благодаря за идеите. Smile

Реклама

ганка симеонова · Пуснато на: Mon Dec 07, 2009 9:00 am Заглавие:

$\int_{}^{ }\frac{zdz}{ z^2+\frac{3}{4 } } = \frac{1}{2 } \int_{}^{ } \frac{dz^2}{ { z^2+\frac{3}{4 } }} = \frac{1}{2 } \int_{}^{ } \frac{(dz^2+\frac{3}{4 }) }{ { z^2+\frac{3}{4 } }}=\frac{1}{ 2} ln(z^2+\frac{3}{ 4})$

По втория- изнеси в знаменател като общ множител 3/4.
$\int_{}^{ }\frac{dz}{ z^2+\frac{3}{4 } }=\frac{4}{3} \int_{}^{ } \frac{dz}{(\frac{2z}{ \sqrt{3} })^2+ 1} =\frac{2}{\sqrt{3} } \int_{}^{ } \frac{d\frac{2z}{\sqrt{3} } }{(\frac{2z}{ \sqrt{3} })^2+ 1}=\frac{2}{\sqrt{3} }arctg\frac{2z}{ \sqrt{3} }$

Dark Angel · Пуснато на: Mon Dec 07, 2009 4:21 pm Заглавие:

Благодаря много.
Наистина не ми беше ясно как се получава корена. Мисля, че разбрах идеята.