Пресечна точка на прави

Grands

Дадени са две неуспоредни прави
$a_1x+b_1y=c_1$
$a_2x+b_2y=c_2$
които се пресичат в точка P. Докажете че за произволно число $k$ уравнението
$(a_1x+b_1y-c_1)+k(a_2x+b_2y-c_2)=0$
определя права през точката $P$ .
Обратно, произволна права през P различна от $a_2x+b_2y=c_2$ може да бъде представена чрез такова уравнение със подходяща стойност на $k$ .

Що помоля за помощ по задачата, първата част я реших, но ако някойпоже да ми напише решението че да го сравня. По втората част нямам идея. Благодаря предварително за помощта.

Реклама

masterfromkardjali · Пуснато на: Thu Aug 20, 2009 10:00 pm Заглавие:

Първо всички прави, които минават през една точка съставят клас на еквивалентност. Поради конгруетността на класовете на еквивалентност и т.к. умноженото с k уравнение попада в този клас на еквивалентност => твоето твърдение.

Grands · Пуснато на: Fri Aug 21, 2009 8:10 am Заглавие:

Благодаря, а по втората част, т.е. обратното твърдение?

nikko1 · Пуснато на: Fri Aug 21, 2009 10:24 am Заглавие:

След като и трите прави минават през точката $P(x_0,y_0)$ , то двете прави от условието могат да се запишат като
$l_1:\ a_1(x-x_0)+b_1(y-y_0)=0$ ( $c_1=a_1x_0+b_1y_0$ ) и
$l_2:\ a_2(x-x_0)+b_2(y-y_0)=0$ ( $c_2=a_2x_0+b_2y_0$ ), където
$\vec{n_1}(a_1, b_1) || l_1$ и
$\vec{n_2}(a_2, b_2) || l_2$ са векторите успоредени на правите. Понеже двете прави са различни, то тези вектори са линейно независими и образуват базис на двумерното пространство (равнината, определена от точката и двете неуспоредни прави през нея).
Нека $l_3:\ a_3(x-x_0)+b_3(y-y_0)=0$ е произволна друга права в равнината през т. P (различна от l_2). Тогава $\vec{n_3}\(a_3,b_3)$ е вектор успореден с $l_3$ .
След като $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$ са базис, то съществуват единствени числа $\lambda_1$ и $\lambda_2$ (поне едното (в случая по условие $\lambda_1$ ) различно от 0), такива че $\vec{n_3}=\lambda_1\vec{n_1}+\lambda_2\vec{n_2}$ .
Тогава $k=\frac{\lambda_2}{\lambda_1}$ (тук можем да разделим на $\lambda_1\neq 0$ защото в противен случай l_3 съвпада с l_2, което не е изпълнено по условие) и $\color{red}\vec{n_3'}=\frac{\vec{n_3}}{\lambda_1}=\vec{n_1}+k\vec{n_2}$ е успореден на $\vec{n_3}|| l_3$ . Тогава $l_3':\left{\begin{array}{ll}z P\\|| \vec{n_3'}\end{array}\right.\equiv l_3$ (има само една права през точката P успоредна на n_3). Сега използваме равенството между векторите (с червения цвят) $\vec{n_3'}=(a_1,b_1)+k(a_2,b_2)=(a_1+ka_2, b_1+kb_2)$ и l_3 има уравнение $l_3:\ (a_1+ka_2)(x-x_0)+(b_1+kb_2)(y-y_0)=a_1x+b_1y+c_1+k(a_2x+b_2y+c_2)=0$