лека загрявка с интересни задачи

Deli1

Колко измежду естествените числа от 1 до 10 000,чиято цифра на единиците е 1,могат да се представят във вида 8^m+5ⁿ,където m и n са естествени числа?

Реклама

krainik · Пуснато на: Sat Jul 04, 2009 7:53 am Заглавие:

Задачата е доста лесна, но, за съжаление, хората от твойта възрастова група са малко във форума и се съмнявам някой да напише решение.

marti1295 · Пуснато на: Sat Jul 04, 2009 8:19 am Заглавие:

Аз имам някакви идеи,но ще помисля малко. Sad

ПП:Отговора е 5, нали?

Deli1 · Пуснато на: Sat Jul 04, 2009 10:29 am Заглавие:

Какво е решението на задачата?

marti1295 · Пуснато на: Sat Jul 04, 2009 10:50 am Заглавие:

Сега ще напиша моите разсъждения (може и да са неправилни)
$5^n$ завършва на 5 за всяко n. $8^m$ завършва на 8,4,2,6.За да може нашето число да завършва на 1 трябва m да се дели на 4.Числата удовлетворяващи условията са $8^4+5$ ; $8^4 + 5^2$ ; $8^4+5^3$ ; $8^4+5^4$ и $8^4+5^5$ .
Да докажем, че $8^8$ е по-голямо от 10 000.
$\frac{8^8}{ 10^4} = \frac{(2^5)^4}{5^4 } >1$ .Следователно $8^8$ е по-голямо от 10 000, следователно за m има само една възможност $m=4$ .
Сега да докажем, че $5^6>10000$ . $\frac{5^6}{10^4 } = \frac{25}{16 }>1$ .Следователно $5^6>10000$ .И сега $0<n<6$ .Възможностите за n са 1,2,3,4 и 5
ПП:Благодаря на звездите ми го говорят за подсказката как да довърша задачата.