Разстояние между центровете

estoyanovvd

Окръжностите $k_{1}(O_{1};r_{1})$ и $k_{2}(O_{2};r_{2})$ се пресичат в точки $A$ и $B$ . Върху правата $AB$ е взета точка $C$ и са построени допирателните $CH$ и $CT$ , съответно към $k_{1}$ и $k_{2}$ . Ако $HT=8$ , $r_{1}=2\sqrt{5}$ , $r_{2}=3\sqrt{5}$ , $cos \angle TCH=- \frac{3}{5 }$ , да се пресметне дължината на отсечката $O_{1}O_{2}$ .

Реклама

estoyanovvd · Пуснато на: Mon Jun 01, 2009 8:06 am Заглавие:

Не е от сборник!!! Снощи я измъдрих. Това, разбира се, не означава, че не се използват други известни факти!!! Моля, който ги знае, да не ги пусне само тях, а да даде цяло решение!!! Wink

Ако може и Ганка, Баронов и r2d2 да изчакат, ще бъде супер за кандидатстудентите. Razz

NoThanks · Гост

От Th за допирателните, приложена за CT i CH имаме: $CH^2 = CA.CB=CT^2 => CH=CT$ От тук 3ъгълник CHT е равнобедрен и от косинусова теорема намираме $CH=CT=2\sqrt{5}$ Сега нека $\angle{CHT}=\varphi$ пак от косинусова теорема на намираме: $cos\varphi = \frac{4.5+64-4.5}{2.2\sqrt{5}.8} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$ Изнасяме $HTO_{2}O_{1}$ Тъй като $OH \perp CH => \angle{O_{1}HT}=90-\varphi$ И сега като сме намерили косинус фи, а О1Х = r1 намираме $O_{1}K \perp TH = 4 \; HK=2$ Аналог. в 3ъгълник TPO2 $PO2=6 => QO2=2 \; PT=3 => KP=8-2-3 = 3$ => в 3ъгълник $O1QO2 => O1O2^2 = 4+9 = 13 => O1O2=\sqrt{13}$

estoyanovvd · Пуснато на: Mon Jun 01, 2009 9:44 am Заглавие:

Тъй, тъй!!! Very Happy

Може и така - $\Delta HTD$ е равнобедрен и ако означим $HD=TD=x$ , с косинусовата теорема лесно намираме $x=4\sqrt{5}$ . След това отново с помоща на косинусовата теорема за триъгълника $O_{1}O{2}D$ намираме лесно $O_{1}O_{2}=\sqrt{13}$ .