Интеграл : Докажете !

Love Greez

a) ∫ x² ln x dx = 1/3 x³ ln x - 1/9 x³ + C

b) ∫ √x²+1 dx = 1/2x√x²+1 + 1/2 ln(x+√x²+1)+C

Забележка : (x на степен втора + 1 е цялото под корен ! )

Благодаря предварително за помощта !

Реклама

Natali lubitel · Пуснато на: Fri Jan 08, 2010 9:39 pm Заглавие:

Не разбирам немски . Вероятно искате обяснение как се смятат написаните в а) и б) интеграли? И за двата се използва интегриране по части. За
а) I= $\int_{}^{ } x^2lnxdx=\frac{1}{3 } \int_{}^{ } lnxdx^3$ Прилагаме формулата за интегриране по части и получаваме:
I= $\frac{x^3.lnx}{ 3} -\int_{}^{ } \frac{x^3}{ 3.x} dx$
I= $\frac{x^3.lnx}{ 3}-\frac{1}{ 3} \int_{}^{ } x^2dx$ Т.е.
I= $\frac{x^3.lnx}{ 3}-\frac{x^3}{ 9} +C$ .
По - късно ,ако имам възможност ще напиша и пресмятането на 2-я интеграл

Natali lubitel · Пуснато на: Fri Jan 08, 2010 10:47 pm Заглавие:

Пропуснала съм заглавието - докажете.
Доказателството за б) :
Нека $I_{1}=\int_{}^{ } \sqrt{x^2+1} dx$ . От формулата за интегриране по части получаваме:
$I_{1}=x\sqrt{x^2+1} -\int_{}^{ } \frac{x^2dx}{\sqrt{x^2+1} }$
$I_{1}=x\sqrt{x^2+1} -\int_{}^{ } \frac{(x^2+1)dx}{ \sqrt{x^2+1} }$
$I_{1}=x\sqrt{x^2+1} -\int_{}^{ } \sqrt{x^2+1} +\int_{}^{ } \frac{dx}{\sqrt{x^2+1} }$
$I_{1}=x\sqrt{x^2+1} -I_{1}+\int_{}^{ } \frac{dx}{ \sqrt{x^2+1} }$
Така получаваме $2I_{1}=x\sqrt{x^2+1}+\int_{}^{ } \frac{dx}{ \sqrt{x^2+1} }$ .
$( ln( x+\sqrt{x^2+1})'=\frac{1+\frac{x}{ \sqrt{x^2+1} } }{x+\sqrt{x^2+1} }$ Производната на тази функция следователно е :
$( ln( x+\sqrt{x^2+1})'=\frac{x+\sqrt{x^2+1} }{ (x+\sqrt{x^2+1})\sqrt{x^2+1} }$ = $\frac{1}{\sqrt{x^2+1} }$ . Следователно
$\int_{}^{ } \frac{dx}{ \sqrt{x^2+1} } =ln/x+\sqrt{x^2+1} /+C$
От където $I_{1}=\frac{x\sqrt{x^2+1} }{ 2} +\frac{1}{ 2}ln/x+\sqrt{x^2+1} /+C_{1}$

Love Greez · Пуснато на: Sat Jan 09, 2010 8:58 am Заглавие:

Благодаря Ви много за отзивчивостта !!!