Минимум на функция

SV.SV

Здравейте. От доста време следя форума, но чак сега се престраших да се регистрирам.
Може ли да получа насока за следната задача?

Да се определи минимумът на функцията
$y=\frac{a^2}{x } +\frac{b^2}{1-x }$ , ако $a>0; b>0; 0<x<1$

ПП Ако може без производна, защото съм в 11 клас.

Реклама

ганка симеонова · Пуснато на: Mon Oct 05, 2009 10:52 am Заглавие:

Ще ти предложа едно решение.
Да представим функцията като $y=a^2.\frac{1-x}{ x} +b^2.\frac{x}{1-x } +a^2+b^2$
Тъй като $a^2\frac{1-x}{ x}.b^2\frac{x}{1-x }=a^2b^2$ и не зависи от х, затова и сумата $a^2\frac{1-x}{ x} +b^2\frac{x}{1-x }$ ще е минимална, когато двете събираеми са равни.
Тогава от $a^2\frac{1-x}{ x} =b^2\frac{x}{1-x }=>x=\frac{a}{ a+b}=>y_{min}=(a+b)^2$

martosss · Пуснато на: Mon Oct 05, 2009 11:16 am Заглавие:

Ето друго подход, който е по-универсален. Wink

Умножаваме по х(1-х) и опростяваме, така получаваме
$x^2y-(a^2+y-b^2)+a^2=0$
Сега разглеждаме това уравнение като квадратно относно х, от дискриминантата получаваме
$D=(y+a^2-b^2)^2-4a^2y=(y+a^2-b^2-2a\sqrt y)(y+a^2-b^2+2a\sqrt y)=((\sqrt y-a)^2-b^2)((\sqrt y+a)^2-b^2)\ge 0$
$(\sqrt y-a-b)(\sqrt y-a+b)\underline{(\sqrt y+a-b)}\N {(\sqrt y+a+b)}\ge 0$ последното е винаги положително, така че не играе роля, сега нека примерно a≥b, без значение е кое ще избереш да е по-голямото от двете, тогава
a-b≥0 => $\sqrt y+a-b\ge \sqrt y>0$ и съкращаваме и него
Остават
$(\sqrt y-a-b)(\sqrt y-a+b)\ge 0$
$\sqrt y \in\left(-\infty\: ;\: b-a]\cup [a+b\: ;\: +\infty )$ , но $\sqrt y >0$ , а пък $b-a<0<a+b$ , оттук $\sqrt y\ge a+b\Right y\ge (a+b)^2$ Wink

И за тези стойности на у вече можеш да намериш някакво си х, но тъй като ти търсиш у, то $y_{min}=(a+b)^2$

Единствено не съм сигурен не трябва ли след като намериш х да направиш проверка дали то наистина е между 0 и 1 Laughing

Да, ето го и доказателството:
За $y=(a+b)^2$ имаме $D=0\Right x_{1,2}=\frac{a^2-b^2+y}{2y}=\frac{a}{a+b}$ , а последното е положително и по-малко от 1. Wink

Получиха се същите неща като на Ганка, значи всичко е точно. Wink

estoyanovvd · Пуснато на: Mon Oct 05, 2009 12:38 pm Заглавие:

martosss · Пуснато на: Mon Oct 05, 2009 1:06 pm Заглавие:

Това сега трябва да има за цел да продължи спора с индукцията ли? Laughing

Просто не ми харесва, че е казано"ако сумата не зависи от х, то двете числа са равни", но това твърдение не е доказано, затова предлагам мой вариант, който според мен по-ясно обяснява защо това е минимално(и все пак е доказан).

Също така мисля, че всеки има право на мнение - според мен със СА-СГ става по-лесно, според Ганка не, добре. Не виждам какъв е проблемът да "допълня" нейното решение, даже бих се радвал ако някой допълни моето или даде различен подход. Wink

В случая е по-важно да се видят различните подходи за решение, а не да се караме защо единият дал акъл на другия.

d/dx · Пуснато на: Mon Oct 05, 2009 3:57 pm Заглавие:

Какво се опитвате да смущавате момчето с госпожата? Да не мислите, че като порасне няма да разбере каква е истината за вас даскалите? Smile

krainik · Пуснато на: Mon Oct 05, 2009 7:44 pm Заглавие:

Ем, като сме тръгнали да се правим на интересни - да приложим Хубавото н-во -
$y=\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{1-x}\ge (a+b)^2\Rightarrow y_{min}=(a+b)^2$ .

ганка симеонова · Пуснато на: Mon Oct 05, 2009 7:58 pm Заглавие:

Ако $x>0. y>0; xy=c=>x+y\ge 2\sqrt{xy} =2\sqrt{c} =>$ Равенство за $x=y$ Март, това си идва точно от СА-СГ Wink

mkmarinov · Пуснато на: Mon Oct 05, 2009 8:53 pm Заглавие:

martosss · Пуснато на: Mon Oct 05, 2009 9:08 pm Заглавие:

Dian Atanasov<T1BLD> · Пуснато на: Mon Oct 05, 2009 9:13 pm Заглавие:

SV.SV · Пуснато на: Mon Oct 05, 2009 9:51 pm Заглавие:

Благодаря г- жо Симеонова и на теб Мартос..
Аз уча в немската езикова гимназия, но съм с профил математика. Много ми харесва да се занимавам с нея, въпреки че акцентът ми е езика.
Krainik, ще ти бъда благодарен, ако ми напишеш какво гласи Хубавото неравенство, за да разбера решението ти.
Явно е хубаво, щом като го приложиш, става на един ред Embarassed

Реклама

d/dx · Пуснато на: Mon Oct 05, 2009 10:04 pm Заглавие:

krainik · Пуснато на: Tue Oct 06, 2009 7:33 am Заглавие: