Регистрирайте се

ОДУ от 1-ви рeд

Форум за математика Форуми -> Диференциални уравнения

Предишната тема :: Следващата тема

Автор

Съобщение

eli7ooooo
Начинаещ

Регистриран на: 29 Mar 2008
Мнения: 38

Репутация: 2.8

Пуснато на: Thu Apr 30, 2009 12:40 pm Заглавие: ОДУ от 1-ви рeд

1. $y'\sqrt{4+x^2} =y$ 2. $y'=ycotgx+sinx$ 3. $y'-2xy=2x^3y^2$ Може ли малко помощ всъщност това съм го учила ама имам нужда от преговор че почти нищо не помня а трябва да се упръжнявам за изпит

Върнете се в началото

Реклама

Пуснато на: Заглавие: Реклама

Върнете се в началото

stflyfisher
Напреднал

Регистриран на: 26 Jan 2009
Мнения: 394

Репутация: 31.9

гласове: 10

Пуснато на: Thu Apr 30, 2009 1:16 pm Заглавие: Re: ОДУ от 1-ви рeд

eli7ooooo написа:

1. $y'\sqrt{4+x^2} =y$

Може ли малко помощ всъщност това съм го учила ама имам нужда от преговор че почти нищо не помня а трябва да се упръжнявам за изпит Crying or Very sad

Като за начало да припомня една формула Wink

:

$y'=\frac{dy}{dx}$

$y'\sqrt{4+x^2} =y$

$\frac{dy}{dx}\sqrt{4+x^2} =y$

$sqrt{4+x^2}dy=ydx$

$ydx-sqrt{4+x^2}dy=0$

Това ДУ е от вида:

$P(x)M(y)dx+Q(x)N(y)dy=0$

Най-лесния вид ДУ за решаване- ДУ с отделящи се променливи:

$P(x)M(y)dx+Q(x)N(y)dy=0 /:Q(x)M(y)\ne 0$

$\frac{N(y)}{M(y)}dy=-\frac{P(x)}{Q(x)}dx$

$\int_{}^{ }\frac{N(y)}{M(y)}dy=-\int_{}^{ } \frac{P(x)}{Q(x)}dx +C$

$ydx-sqrt{4+x^2}dy=0$

$\frac{dx}{sqrt{4+x^2}}=\frac{dy}{y}$

$\int_{}^{ } \frac{dy}{y}=\int_{}^{ } \frac{dx}{sqrt{4+x^2}}+C$

Остава само да се решaт двата интеграла, а те са таблични. Втория почти де Laughing

Последната промяна е направена от stflyfisher на Thu Apr 30, 2009 2:28 pm; мнението е било променяно общо 1 път

Върнете се в началото

stflyfisher
Напреднал

Регистриран на: 26 Jan 2009
Мнения: 394

Репутация: 31.9

гласове: 10

Пуснато на: Thu Apr 30, 2009 1:35 pm Заглавие: Re: ОДУ от 1-ви рeд

eli7ooooo написа:

2. $y'=ycotgx+sinx$

2. $y'=ycotgx+sinx$

Това ДУ е от вида:

$y'=P(x)y+Q(x)$

или:

$y'+a(x)y=b(x)$

Линейно ДУ от първи ред и решенията се дават по формулата:

$y=e^{-\int a(x)dx}.[\int e^{\int a(x)dx}.b(x)dx+C]$

$y'=ycotgx+sinx$

$y'+(-cotgx) . y = sinx$

$a(x) = -cotgx, b(x)=sinx$

Решенята са:

$y=e^{\int cotgxdx}.[\int e^{-\int cotgxdx}.sinxdx+C]$

Остават да се решат двата интеграла. Като при този:

$\int cotgxdx$

е малко по трудно. Ако те затруднява пиши Wink

Върнете се в началото

stflyfisher
Напреднал

Регистриран на: 26 Jan 2009
Мнения: 394

Репутация: 31.9

гласове: 10

Пуснато на: Thu Apr 30, 2009 2:18 pm Заглавие: Re: ОДУ от 1-ви рeд

eli7ooooo написа:

3. $y'-2xy=2x^3y^2$

ДУ от вида:

$y'+P(x)y=Q(x)y^{m}$

се нарича ДУ на Бернули или Бернулиеви ДУ.

Едно решение е $y=0$ . Нека $y\ne 0 => y^m\ne 0$

$y'+P(x)y=Q(x)y^{m}|:y^{m}\ne 0$

$\frac{y'}{y^{m}}+P(x)\frac{y}{y^{m}}=Q(x)$

$\frac{y'}{y^{m}}+P(x)y^{1-m}=Q(x)$

Решават се чрез полагането:

$z=y^{1-m}, z=z(x) =>$

$z'=(1-m)y^{-m}y' =>$

$\frac{y'}{y^{m}}=\frac{z'}{1-m} =>$

Заместваме в:

$\frac{y'}{y^{m}}+P(x)y^{1-m}=Q(x) =>$

$\frac{z'}{1-m}+P(x)z=Q(x)$

$z'+(1-m)P(x)z=(1-m)Q(x)$

Полагаме:

$a(x)=(1-m)P(x), b(x)=(1-m)Q(x)$

И се достига до:

$z'+a(x)z=b(x)$ ,

което е линейно. След неговото решаване(виж предния пост) остaва само да се върнем в полагнето.

$y'-2xy=2x^3y^2 |:y^{2}\ne 0$

$\frac{y'}{y^2}-\frac{xy}{y^2}=2x^3$

$\frac{y'}{y^2}-xy^{-1}=2x^3$

Полагаме:

$z=y^{-1}=\frac{1}{y}, z=z(x)$

$z'=(-1)y^{-1-1}y'$

$z'=-y^{-2}y'$

$\frac{y'}{y^2}=-z'$

$\frac{y'}{y^2}-xy^{-1}=2x^3$

$-z'-xz=2x^3$

$z'+xz=-2x^3$

$a(x)=x, b(x)=-2x^3$

$z=e^{-\int xdx}.[\int e^{\int x}.(-2x^3)dx+C]$ ,

но

$z=\frac{1}{y}=>$

$\frac{1}{y}= e^{-\int xdx}.[\int e^{\int xdx}.(-2x^3)dx+C]$

Решаваш двата интеграла и задачата е решена. Wink

Върнете се в началото

eli7ooooo
Начинаещ

Регистриран на: 29 Mar 2008
Мнения: 38

Репутация: 2.8

Пуснато на: Sat May 09, 2009 8:18 am Заглавие: Re: ОДУ от 1-ви рeд

stflyfisher написа:

eli7ooooo написа:

2. $y'=ycotgx+sinx$

това не мога да го дореша ... Sad

Върнете се в началото

ганка симеонова
SUPER VIP

Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5987
Местожителство: софия
Репутация: 602.9

гласове: 298

Пуснато на: Sat May 09, 2009 9:06 am Заглавие:

$\int_{}^{ } cotgxdx=\int_{}^{ } \frac{cosx}{sinx } dx=\int_{}^{ } \frac{dsinx}{sinx }=ln/sinx/+C$

Върнете се в началото

eli7ooooo
Начинаещ

Регистриран на: 29 Mar 2008
Мнения: 38

Репутация: 2.8

Пуснато на: Sat May 09, 2009 11:32 am Заглавие:

ганка симеонова написа:

$\int_{}^{ } cotgxdx=\int_{}^{ } \frac{cosx}{sinx } dx=\int_{}^{ } \frac{dsinx}{sinx }=ln/sinx/+C$

Мерси много Very Happy

Върнете се в началото

Покажи мнения от преди:

	Форум за математика Форуми -> Диференциални уравнения	Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

Идете на:

Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
You cannot attach files in this forum
Може да сваляте файлове от този форум