Няколко задачи от УАСГ

wils0n · Начинаещ Регистриран на: 30 Aug 2007 Мнения: 17

Задача 1.
Даден е трапецът ABCD с основи AB и CD и бедра AD и BC, при което AB=3, CD=1.
Точката М е от бедрото BC и M различно от C. През точките D и M е прекарана права, която пресича диагонала AC в точката P и продължението на основата AB - в точката Q.
Нека $\frac{AP}{PC }=\lambda$

а). Да се докаже,че $\lambda \ge 3$ и че $BQ =\lambda -3$
б). Нека $k\lambda$ е отношението на лицата на триъгълник PMC и триъгълник ABC $(\frac{S_{PMC}}{S_{ABC}}=k\lambda$ ). Да се докаже, че $k\lambda =\frac{1}{ (\lambda +1)(\lambda -2)}.$
в). Да се намери за кои стойности на $\lambda$ е изпълнено $\frac{S_{PMC}}{S_{BQM} } =1/3$

Задача 2.
В трапеца ABCD с основи AB и CD и бедра AD и BC са изпълнение неравенствата AB>CD. AD>CD и BC>CD. Точките E и F са върху правата CD, като AE е ъглополовяща на $\angle BAD$ ,а ъглополовяща на $\angle ABC$ . Известно е,че EF=AB.

а). Докажете, че в трапеца може да се впише окръжност и че вписаните в триъгълниците ACB и ACD окръжности се допират.
б). Нека M, N и P са допирните точки на вписаната в трапеца ABCD окръжност съответно с AB, BC и AD. Нека $\angle BAD$ + $\angle ABC$ = $\varphi$ и радиусът на окръжността е r. Ако $S_{PMN}$ е лицето на триъгълника PMN, докажете,че
$S_{PMN}$ $\le$ $r^{2}$ $\frac{2sin([tex]\varphi$ /2)+sin $\varphi$ }{2} $\le$ $\frac{3[tex]\sqrt{3}$ $r^{2}$ }{4}

Реклама

ганка симеонова

ObsCure · Пуснато на: Sun Jun 08, 2008 1:51 pm Заглавие:

а)Равенство за $\lambda$ се достига когато т.P съвпада с пресечната точка на диагоналите.

И така,▲AQP~▲CPD(очевидно!),следователно,ако

QB=x => $\frac{AP}{PC}=\frac{x+3}{1}$ => $x+3=\lambda>3$

Оттук следва и че

BQ=x= $\lambda-3$

ObsCure · Пуснато на: Sun Jun 08, 2008 5:40 pm Заглавие:

б)Нека

$<ACB=<PCM=\alpha$

Изразяваме лицата на ▲ABC и ▲PCM по следният начин

$S(\Delta)ABC=\frac{AC.BCsin\alpha}{2}$

$S(\Delta)PMC=\frac{PC.MCsin\alpha}{2}$

От тези равенства можем да заключим,че

$\frac{S\(Delta)PMC}{S\(Delta)ABC}=\frac{PC.MC}{AC.BC}=k\lambda$

Остана ни само да изразим отношенията чрез $\lambda$ .От ▲ABC намираме

$\frac{PC}{AC}=\frac{PC}{(\lambda)PC+PC}=\frac{PC}{PC(\lambda+1)}=\frac{1}{\lambda +1}$

Нека

CM=y
BM=z

От подобието м/у ▲BMQ и ▲MCD можем да намерим

$\frac{y}{z}=\frac{1}{\lambda-3} => z=y(\lambda-3)$

Тогава

$\frac{CM}{BC}=\frac{y}{y+z}=\frac{y}{y\lambda+y-3y}=\frac{y}{y(\lambda-2)}=\frac{1}{\lambda-2}$

Окончателно

$\frac{S(\Delta)PMC}{S(\Delta)ABC}=\frac{PC.MC}{AC.BC}=k\lambda=\frac{1}{(\lambda +1)(\lambda-2)}$

ObsCure · Пуснато на: Sun Jun 08, 2008 6:40 pm Заглавие:

http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=5542 ->Ето я и 2-рата задача,благодарение на Г-жа Симеонова!

wils0n · Пуснато на: Sun Jun 08, 2008 6:43 pm Заглавие:

tauru · Пуснато на: Thu Apr 23, 2009 10:11 pm Заглавие:

ok,но как ще стане в) на първа задача...plss кажете ,защото усещам че е нещо елементарно,а не мога да се досетя и няма да мога да спя спокойно Rolling Eyes

naitsirk · Пуснато на: Fri Apr 24, 2009 8:53 am Заглавие:

Намери отношението на лицата на BQM и ABC, като използваш полученото в предишната подточка можеш да намериш търсеното отношение $\frac{S_{PMC}}{S_{BQM} }$ и остава да решиш едно просто уравнение Wink