една задачка за триъгълник и среди на страните му

соня

Даден е триъгълник АВС Точките М, P, T са среди съответно на страните BC, CA, AB. Докажете,че отсечките MP, PT, и TM разделят триъгълник ABC на четири равнолицеви триъгълника.
Знам, че не е от трудните задачи, ама за мой срам Embarassed

не се сещам как да я реша.Ще ви бъда благодарна, ако ми дадете идейка.

Реклама

Spider Iovkov · Пуснато на: Mon Jan 12, 2009 9:48 pm Заглавие:

І начин. Даден е $\triangle ABC$ , в който $M\in BC, BM=CM=\frac{a}{2}; P\in AC, AP=PC=\frac{b}{2}; T\in AB, AT=TB=\frac{c}{2}$ . Понеже $MP, PT, TM$ свързват средите на страните на триъгълника, то те са средни отсечки и $PT=\frac{a}{2}, MT=\frac{b}{2}, PM=\frac{c}{2}$ . Очевидно $PT||BC, TM||AC, PM||AB$ . От успоредността на тези двойки прави определяме $\angle PAT=\angle MTB=\angle CPM=\alpha$ . Тогава $S_{\triangle ATP}=\frac{AP.AT. sin\alpha}{2}=\frac{bc sin \alpha}{8}, S_{\triangle MTB}=\frac{MT.TB. sin\alpha}{2}=\frac{bc sin\alpha}{8}, S_{\triangle CPM}=\frac{CP.PM. sin\alpha}{2}=\frac{bc sin\alpha}{8} \Rightarrow S_{\triangle ATP}=S_{\triangle MTB}=S_{\triangle CPM}$ . Но $ATMP$ е успоредник и $\triangle ATP\simeq \triangle MPT \Rightarrow S_{\triangle ATP}=S_{\triangle MPT} \Rightarrow S_{\triangle ATP}=S_{\triangle MTB}=S_{\triangle CPM}=S_{\triangle MPT}$ .

ІІ начин. Очевидно трите прави отсичат четири триъгълника със страни съответно $\frac{a}{2}, \frac{b}{2}, \frac{c}{2}$ . От еднаквостта следва, че триъгълниците имат и равни лица.

Кристиан Петков · Пуснато на: Mon Jan 12, 2009 10:03 pm Заглавие:

синус и косинус не се ли учат малко по-късно??? иначе втория начин е подходящ Laughing

voknid

Помисли за свойството на средната отсечка в триъгълник.
Въпроси:

1) Дали $PM \parallel TB$ ако $TB\in AB,AP=CP$ и $BM=CM?$

2) Дали $TM \parallel AP$ ако $AP\in AC,AT=BT$ и $BM=CM?$

3) Успоредник ли е фигурата $ATMP?$ (не е задължително да е ромб Wink

)

4) Отсечката $PT$ диагонал ли е на $ATMP?$

5) Диагонал в успоредник не го ли разполовява на 2 еднолицеви части?

6) Да се доказва ли по аналогичнен начин за останалите 2 триъгълника?

Ако лицето на всеки от 3-те триъгълника, съседни на $\triangle PTM$ са поотделно равни на неговото, то те са равни и помежду си.

ганка симеонова · Пуснато на: Tue Jan 13, 2009 1:15 pm Заглавие:

Нито един не е подходящ Twisted Evil

Предполага се, че задачата е за 5 клас=> и средната отсечка не е подходяща.
Разглеждаме $\Delta ATC; \Delta ABC$ Двата триъгълника имат общ връх С, а срещулежащите им страни са от една права=>имат една и съща височина.
И т.к., $AT=\frac{1}{ 2}AB=>S_{ATC}=\frac{1}{2 }S_{ABC}$
Аналогично $S_{APT}=\frac{1}{ 2} S_{ATC}=\frac{1}{ 4} S_{ABC}$
Пo същия начин доказваме, че $S_{BTM}=S_{PMC}=\frac{1}{ 4} S_{ABC}=>S_{PTM}=\frac{1}{ 4} S_{ABC}$

y4eni4kata_97 · Пуснато на: Mon Apr 20, 2009 1:32 pm Заглавие:

извинявайте много ганка симеонова,Емо и vo... обаче вашите решения в случея не са много правилни (нищо лично), защото задачата е в категория за 5 клас, а в 5 клас не се учат неща или поне не в моето училище, защото в учебника по математика избран от министерството има 5 раздела: Входно ниво, Дробни числа.Десетични дроби, Геометрични фигури и тела, Делимост и Обикновенни дроби и в нито един от тях не се обесняват формулите чрез който вие сте решили. Пак ви казвам нищо лично нямам към вас, дори ви свалям шапка (е не буквално ама...), че сте си направили труда да я решите!1!! Very Happy

voknid

y4eni4kata_97, вземи 1 ножица и разрежи $\Delta ABC$ на 4-те части. Наложи всяка от периферните върху централната и виж съвпадат ли. Laughing