Перпендикулярност

r2d2

В остроъгълния АВС допирателните към описаната окр. в точките А и В се пресичат в т.Д. От Д са спусанати перпендикуляри DE към правата АС и DF към ВС.

Докажете, че медианата СМ е перп. на ЕF.

Реклама

Saposto_MM · Пуснато на: Sat Dec 13, 2008 3:12 am Заглавие:

$\angle BMD=\angle DFB=90^\circ$ $\Leftrightarrow$ BMDF е вписан. Аналогично AMED е вписан. Оттук и от теоремите за вписан и периферен ъгъл $\angle EMD=\angle EAD=\angle ABC$ , $\angle FMD=\angle DBF=\angle BAC$ и $\angle DFM=\angle DBM=\angle ACB$ $\Leftrightarrow$ $\angle EMF+ \angle DFM=180^\circ$ $\Leftrightarrow$ EM||DF. Понеже DF е перпендикулярна на BC, то и EM е такава. Още повече $\angle EDF=180^\circ -\angle ACB=\angle ABC+\angle BAC=\angle DBF+\angle EAD=\angle EMF$ $\Leftrightarrow$ $\angle EDF+ \angle DFM=180^\circ$ $\Leftrightarrow$ ED||FM. Понеже DE е перпендикулярна на BC, то и FM е перпендикулярна на нея.
От казаното до тук, следва, че M е ортоцентър на $\Delta EFC$ , следователно CM е перпендикулярна на EF.

estoyanovvd · Пуснато на: Sat Dec 13, 2008 8:42 pm Заглавие:

r2d2 · Пуснато на: Sat Dec 13, 2008 9:26 pm Заглавие:

Това (на estoqnov) беше и моето решение!
1. Вижте "авторовото" решение за 10-12 клас?!
2. @MM - мани тая тъпа програма Geonext!

И все пак основната идея в решението е да се док., че М е ортоцентър - често използвана хватка. ММ се е оправил блестящо!

estoyanovvd · Пуснато на: Sat Dec 13, 2008 9:37 pm Заглавие:

Ами то решението си е на ММ. Аз просто му го редактирах.
И наистина ММ, земи мани тая програма!!! Laughing

А между впрочем r2d2 тази задачка от къде е?

r2d2 · Пуснато на: Sat Dec 13, 2008 9:45 pm Заглавие: