как да докажа

[kop]

че вписания триъгълник в окръжност с радиус R= 4 см е правоъгълен,
ако единият катет разполовява радиуса , а другият е равен на хипотенузата минус 4 см.
благодаря

[Реклама]

[Lubo]

Най-после 'weekend' и така, здравейте на всички!

Условието на тази задача не е пълно. Катетът АС не само трябва да разполовява радиуса OR, но трябва и да е перпендикулярен на него.

Тъй като за всеки вписан в окръжност правоъгълен триъгълник, хипотенузата му е и диаметър (d=2r) в окръжността (Защо?).

От това пък следва, че (в този случай 'r=4'), катетът СB=АВ-4=2r-r=r... и т.н.т.

Вижте чертежа:



Любо

[kop]

[Futurolog]

И така, да формулираме задачата все пак:

Даден е триъгълник АВС вписан в окръжност к с център О. Нека Т е точка от окръжността, такава, че СА е симетрала за ОТ. Нека, също така, ВС = АВ - ОТ. Да се докаже, че тр.АВС е правоъгълен и да се намерят останалите му ълги. (колко е радиусът на окръжността не ни интересува, доказателството е винаги едно и също).

Решение:
ОТ е радиус за окръжността и ортогонална на АС, следователно я разполовява. Нека пресечната точка на ОТ и АС е М. Тогава М е среда на ОТ и на АС. В триъгълник ТОА, АМ е височина и медиана, следователно ТОА е равнобедрен и АО=АТ. Но ОА е радиус, следователно АО=АТ=ОТ, т.е. ТОА е равностранен. Аналогично ТОС е равностранен. Нека точка Р лежи на страната АВ така, че АР = АО = ОТ= АТ. Така получаваме, че ВР = АВ - АР = АВ - ОТ = ВС и АР = АВ - ВР = АВ - ВС = ОТ = ОА = АТ. Следователно тр.СРВ е равнобедрен.

1) Случай: Нека В и О са в една и съща полуравнина относно АС. Тогава <АВС = 1/2 <АОС = 1/2 . 120 = 60. Получаваме, че тр.СВР е равностранен. <АРС = 180 - ВРС = 180 - 60 = 120. Също така <АОС = 120, следователно четириъгълникът АОРС е вписан в окръжност, да я наречем к(1). Тази окръжност е описаната окръжност за тр. АОС. Но знаем, че ТА = ТО = ТС, следователно Т е равноотдалечена от страните на тр.АОС, т.е. тя е център на описаната около АОС окръжност. Следователно Т е центъра на к(1) (през три точки минава единствена окръжност). Понеже Р е точка от к(1), то ТР = ТС. Освен това <ТРС = 180 - <АРТ - <ВРС = 180 - 60 - 60 = 60. Следователно триъгълник ТРС е равностранен и СР = ТВ = ТО = АР. От друга страна СР = ВР (СВР е равностранен) което показва, че ВР = АР = СР. Но тогава Р е равноотдалечена точка от точките А, В и С, т.е. Р е центъра на описаната около АВС окръжност. Но триъгилникът има единствена описана окръжност, която е к, следователно Р е центърът на к. По условие О е центъра на к, значи О = Р, т.е. О лежи на страната АВ и я разполовява, което означава, че <АСВ = 90, т.е. тр.АВС е правоъгълен. <АВС видяхме, че е 60 градуса, следователно <ВАС = 30.

2) Случай: Нека В и О лежат в различни полуравнини относно АС. Тоя случай сега ме мързи да го пиша. Ако някой прояви интерес, може да се опита да използва същите идеи, както по-горе и да докаже, че триъгиълник АВС е правоъгълен.


Освен това има и друго решение, което ползва нещо от рода на косинусова теорема. Това решение е по-кратко, но това което горе излижих не се основава на познания за косинуси и синуси. Аз съм си маняк на тема избягване на косинуси и синуси в такива задачи, стига да може и измисляне на доказателства само с еднаквости, подобия, окръжности и други такива. Ако някой иска може да се пробва да напише косинусовиото решение....

[sweet]

помогнете ми днес имам класно по геометрия и всичко ми е объркано