Рационални числа

от **Гост** » Вто Юли 17, 2012 4:59 pm

Намерете всички тройки (x,y,z) от рационални положителни числа, за които всяко от числата $x+\frac{1}{y } ,y+\frac{1}{z }$ и $z+\frac{1}{x }$ е цяло число.

0

от **martin123456** » Пон Юли 23, 2012 10:42 am

Нека $x=\frac{x_1}{x_2}, y=\frac{y_1}{y_2}, z=\frac{z_1}{z_2}, (x_1,x_2)=1,(x_2,y_2)=1,(z_1,z_2)=1, x_i, y_i, z_i \in \mathbb{N}, i=1,2$
Последователно получаваме, че
$\frac{x_1}{x_2}+\frac{y_2}{y_1}=\frac{x_1y_1+x_2y_2}{x_2y_1}\Rightarrow x_2|y_1, y_1|x_2\Rightarrow y_1=x_2=a$ .
Аналогично $z_1=y_2=b$ и $z_2=x_1=c$ .
Значи $x=\frac{c}{a}$ , $y=\frac{a}{b}$ , $z=\frac{b}{c}$
Тъй като $x+\frac{1}{y}\in \mathbb{N}\Rightarrow \frac{c+b}{a}\in \mathbb{N}$ и аналогично $\frac{a+c}{b}, \frac{b+a}{c}\in \mathbb{N}$ .
Нека $a\le b \le c\Rightarrow \frac{a+b}{c} \le 2\Rightarrow \frac{a+b}{c} \in \{1,2\}$
1. $a+b=c \Rightarrow x+\frac{1}{y}=1+\frac{2b}{a}, y+\frac{1}{z}=1+\frac{2a}{b}$ . Нека $2b=ak, k \in \mathbb{N}\Rightarrow \frac{2a}{b}=\frac{4}{k}\Rightarrow k|4$ . Но $2b=ak\le bk \Rightarrow k \le 2 \Rightarrow k \in \{2,4\}$ .
1.1. $k=2\Rightarrow a=b, c=2a$ и числата са $1,3,3$
...
Другите случаи са аналогични.

Рационални числа

Рационални числа

Re: Рационални числа

Кой е на линия