Решение в естествени числа

от **Гост** » Чет Юли 12, 2012 4:56 pm

Намерете всички тройки естествени числа $a \le b\le c$ , такива, че $(1+\frac{1}{a }) (1+\frac{1}{b })(1+\frac{1}{c })=2$ .

0

от **alexander_ivanov** » Пет Юли 13, 2012 11:12 am

уравнението го записваме във вида:

$\frac{a+1}{a}.\frac{b+1}{b}.\frac{c+1}{c}=2$

знаем че $\forall a,b \in \mathbb{N} : a \le b => \frac{a+1}{a} \ge \frac{b+1}{b}$

от тук следва че при $a \ge 4:$

$\frac{a+1}{a}.\frac{b+1}{b}.\frac{c+1}{c} \le \frac{4+1}{4}.\frac{4+1}{4}.\frac{4+1}{4}=\frac{5}{4}.\frac{5}{4}.\frac{5}{4}=\frac{125}{64} < 2$

$=>a \le 3$
тук разглеждаме 3 случея:

1) а=3 => уравнението се записва във вида $\frac{b+1}{b}.\frac{c+1}{c}=\frac{3}{2}$ и с аналогични разсъждения ще получим, че $a \le b\le 4=> 3 \le b \le 4$ и от тези ограничения получаваме тройките: $(3;3;8);(3;4;5)$

2) а=2 => уравнението се записва във вида: $\frac{b+1}{b}.\frac{c+1}{c}=\frac{4}{3}$ и с аналогични разцъждения ще получим че $a\le b \le 6=> 2\le b\le 6$ от този интервал получаваме като решения тройките: $(2;4;15);(2;5;9)$

3)a=1 => уравнението може да се запише във вида : $(a+1)(b+1)(c+1)=2abc => 2(b+1)(c+1)=2bc => (b+1)(c+1)=bc$ , което е невъзможно

окончателно тройките са : $(2;4;15);(2;5;9);(3;3;8);(3;4;5)$

от **Xixibg** » Пет Юли 13, 2012 4:40 pm

Я пробвай с $a=2 ; b=6; c=7$

0

от **alexander_ivanov** » Пет Юли 13, 2012 5:10 pm

да прав си изпуснал съм тази тройка видях, че имам техническа грешка при решаването на ръка

Решение в естествени числа

Решение в естествени числа

Re: Решение в естествени числа

Re: Решение в естествени числа

Re: Решение в естествени числа

Кой е на линия