TЧ

от **Гост** » Съб Юли 07, 2012 8:30 am

1. Да се докаже, че уравнението 5x^2 - 11y = 7 няма решение в множеството на целите числа.
2. Докажете , че ако abcab (не е произведение, а число) при деление с 91 дава остатък 9, то поне една от неговите цифри е равна на 1.
3. Да се докаже, че за всяко естествено число n, което не се дели на 3, числото 2^13-2 дели n^13-n.

0

от **Гост1** » Съб Юли 07, 2012 12:11 pm

Достатъчно е всичко в уравнението да се вземе по mod 11 и ще се получи противоречие в равенството. Трябва да се използва, че квадратичните остатъци по mod 11 са 0,1,4,9,5,3.
Имаме, че числото $10000a+1000b+100c+10a+b-9$ се дели на 91. По mod 91 имаме $10000a\equiv -10a$ , $1000b\equiv -b$ и $100c\equiv 9c$ . Така получаваме, че числото $-10a-b+9c+10a+b-9=9(c-1)$ , се дели на 91. Оттук, понеже c е цифра, следва че c=1. Така откриваме, че ако това число дава 9 остатък при деление с 91, то c=1. Едновременно доказахме и обратното - ако c=1, то $\overline{abcab}$ дава остатък 9 при деление с 91.
$2(2^{12}-1)=(2^6-1)(2^6+1)=2*9*7*5*13$ . Ако n не се дели на k за k=2,5,7,13, то $n^{12}-1$ се дели, понеже $\phi(k)|12$ за тези k. Ако n не се дели на 3, то понеже $\phi(9)=6|12$ , то $9|n^{12}-1$ .
Ако n се дели на 3, но не и на 9, то 9 не дели $n(n^{12}-1)$ , понеже не можем да приложим теоремата на Ойлер. Ако n се дели 9 обаче твърдението на задачата е вярно. Излиза, $n^{13}-n$ не се дели на $2(2^{12}-1)$ само ако n се дели на 3, но не и на 9.

TЧ

TЧ

Re: TЧ

Кой е на линия