Изследване за сходимост

от **atom3** » Сря Сеп 19, 2012 10:22 am

Здравейте ами значи имам 2 задачки със задача да се изследват за сходимост първата е
$\sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n+1}} \frac{n^2}{(2n-1)^n}$

какво точно означава да се изследва за сходимост тук например ако заместя n с първите 2-3 числа виждам че числата се редуват +- но все отиват към 0 това достатъчно ли е за условието да кажа че редът е сходим и клони към 0 ?
и втората задача е
$\sum_{n=1}^{\infty} = \frac{n^2}{3^n}$

ако може да ми кажете как трябва да се решат правилно че усещам че с моите тарикатски методи 3 може и да не хвана

от **Гост** » Сря Сеп 19, 2012 11:26 am

За първата използвай критерия на Лайбниц за редове с алтернативно сменящи се знаци.

За втората ползвай критерий на Коши, Даламбер или Раабе-Дюамел (един от тях ще проработи, затова трябва да видиш кой от трите).

0

от **Гост** » Сря Сеп 19, 2012 11:42 am

$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n^2}{3^n}, \quad a_{n}=\frac{n^2}{3^n}, \quad a_{n+1}=\frac{(n+1)^2}{3^{n+1}}$

$\lim_{n \to +\infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \lim_{n \to +\infty}\frac{(n+1)^2}{3^{n+1}}.\frac{3^n}{n^2} \sim \lim_{n \to +\infty} \frac{\cancel{n^2}.\cancel{3^n}}{3.\cancel{3^n}.\cancel{n^2}} = \frac{1}{3}<1$

По критерия на Даламбер редът е сходящ.

0

от **atom3** » Сря Сеп 19, 2012 12:29 pm

Как решавате кога кой критерий да се използва ?
а и още нещо когато се прави Аn+1 гледам че в знаменателя +1 се добавя като степен а в числителя като обикновено число ами ако в знаменателя нямаме степен как се добавя +1

Реших първия ред ако може да кажете дали е вярно значи първо редът от абсолютни стойности на този ред е $\frac{n^2}{(2n-1)^n}$
от тук със Коши стигнах до резултата 1/2 което значи че редът е сходящ
и от тук по определение следва че изследвания ред е абсолютно сходящ вярно ли е ?