Блогът за образование

След миналогодишния приемен изпит за профилирани гимназии обърнах внимание (в статията „Футболистите струват милиони, математиците се подаряват” www.shumarov.de), че зад.42 от теста е преопределена, т.е. съдържа повече дадености, отколкото е необходимо за решаването й. Ще призная, че не допусках подобна издънка да се повтори на друг национален изпит. Точно това обаче се случи на втората матура по математика на 4 юни т.г. Което, поне лично за мен, е много обезкуражаващо, защото показва, че инспекторите на МОН не посещават най-големия български сайт по математика www.matematika.bg, където въпросната статия стоя цяла година. Става дума за зад.23 от теста:

23. В правоъгълен () ъглополовящата () дели височината () на отсечки и . Намерете дължината на катета .

Дадено: , , , т.е. .
, т.е. е ъглополовяща на .
Търсим:

Решение: Търсената отсечка е хипотенуза в правоъгълния триъгълник ADC. Задачата се свежда до решаване на този триъгълник. От питагоровата теорема и от теоремата за ъглополовящата получаваме системата уравнения

|

|

От второто уравнение: . Заместваме в първото:

Отговор: .

Ни най-малко не се наложи да използваме условието, че триъгълникът е правоъгълен ()! Същата дължина на страната се получава при какъв да е триъгълник (при всякакъв ъгъл ). На чертежа е остър, но дължината на не се променя, ако той е прав или тъп. Иначе казано, дължината не зависи от , т.е. условието е излишно. То се явява преопределеност на условието.

Преопределеността е сериозен дефект за една математическа задача. Защото дори и да си работил безпогрешно, ако след приключване на решението се окаже, че не си използвал някое от дадените условия, това смущава, кара те да се съмняваш в себе си, да правиш изтощителни и изнервящи проверки и в крайна сметка да загубиш ценно време и енергия. Коректното условие на същата задача би било:

В правоъгълен () ъглополовящата () дели катета на отсечки и . Намерете дължината на хипотенузата .

Колкото и да е непрестижно наличието на дефектно условие, аз нямаше да се заяждам със съставителите на теста, ако това беше единствения пропуск. Тестът като цяло обаче съдържа много по-сериозен недостатък – ужасно несъответствие между трудността на задачите и определените им точки. Най-фрапиращо е то при задачи 26 и 27 от двата теста (за първия и втория изпит), всяка от които носи по 15 точки (колкото 7 задачи от първата половина на теста). Под номер 26 и в двата теста са почти еднакви системи от две уравнения, които трябва просто да се решат.

В изпита на 3 юни системата беше

|

|

Предвид първото уравнение, второто става , т.е.  xy = 2 , така че системата добива вида

|

|

Колкото и да е невероятно, точно в такъв съвсем тривиален вид системата се даде и на втория изпит под номер 26.

Макар и да се води под респектиращото наименование „система от две уравнения от втора степен”, това е възможно най-лесната алгебрична задача, доколкото решенията й се виждат наум:
(1, 2) , (-1, -2), (2, 1),  (-2, -1)

Известно „усложнение” представлява изискването да се запише цялото решение на белова, но то е повече от рутинно и стотици пъти упражнявано. Системата се решава по най-баналния начин – чрез заместване: от второто уравнение имаме   и след заместване в първото, се добива възможно най-простото и приятно биквадратно уравнение, от което се получават отгатнатите наум решения. Единственият момент, в който трябва малко да се замислим, е изискването знаменателят да не е нула. Че не може да е нула се вижда веднага от второто уравнение: е възможно само ако

В задача 27 в теста от 3 юни трябва да се пресметне класическа вероятност, но самото пресмятане става чрез няколкократно прилагане на формулата за комбинации:

27. В кутия има 5 червени и 4 бели топки. По случаен начин са избрани 5 топки. Каква е вероятността 3 от тях да са червени и 2 от тях да са бели?

Решението е съвсем стандартно, без да е нужна каквато и да било досетливост.
Тъй като червените топки след изтеглянето не се подреждат по някакъв признак (те са неотличими една от друга), то броят на различните възможности за изтегляне на червени топки измежду червени ще пресметнем по формулата за комбинации от клас измежду елемента:

възможности.

Аналогични са разсъжденията за белите топки. Броят на различните възможности за изтеглянето на бели топки измежду бели е комбинация от клас измежду елемента:

възможности

Понеже всяко от благоприятните изтегляния на червени топки може да се съчетае със всяко от благоприятните изтегляния на бели, то ще имаме общо благоприятни изтегляния на топки (при които ще имаме комплект от червени и бели топки).
Общият брой възможни изтегляния на топки измежду деветте топки в кутията е равен на комбинациите от клас измежду елемента:

Класическата вероятност за събитието „ червени и бели топки” е равна на отношението на благоприятните към всички възможни комбинации:

Макар да изглежда дълго, решението следва строга последователност от пет стъпки (алгоритъм), който може просто да се запомни, т.е. не изисква никакво творчество.
Още по лесна е задача 27 от теста на 4 юни:

27. За хокеен мач треньорът има на разположение двама вратари, шест защитници и осем нападатели. По колко начина може да се образува началната шестица играчи, ако в нея задължително влизат един вратар, двама защитници и трима нападатели.

Тъй като избраните двама измежду защитници са напълно равноправни (неотличими по качество), след като бъдат избрани, няма вътрешно подреждане, така че и тук прилагаме формулата за комбинации:

възможности.

Аналогично: за избора на трима нападатели измежду наличните имаме

възможности.

За избора на вратар измежду двама налични имаме възможности.

Тъй като всяка от тези благоприятни възможности може да се съчетае с всяка от другите, ще имаме общо
възможности.

Това е цялото решение.

И така, от общо възможни точки могат да се придобият от две строго алгоритмизирани (рутинни) задачи, чието решение може лесно да се наизусти.

Единственото обяснение на това „опущение” на съставителите на тестовете е, че те са получили политическо задание възможно повече зрелостници да изкарат високи оценки.

Тест за български език или за обща култура?

      Надявам се никой да не се учуди, че един учител по физика така живо се интересува от изпита по роден език и литература. Защото познаването и спазването на граматичните правила е също така (и дори още повече!) необходимо в точните науки и освен това, защото се изпробва за първи път тестово изпитване на зрелостен изпит.
Краткият анализ, който предлагам, предполага няколко основни принципа за съставяне на изпитен конспект.
Първи принцип – изпитът е само по български, а не по други езици. От тази гледна точка въпрос 12 на теста е живо недоразумение:
12. В кой ред думите НЕ са синоними?
А) вербален – словесен
Б) негативен - отрицателен
В) неприятел - враг
Г) анализ - синтез
Тук четирите от общо 8 думи са чужди: вербален, негативен, анализ, синтез. Известно ми е, разбира се, лекомисленото схващане на езиковедите като Владко Мурдаров, че отдавна навлезлите в употреба чуждици трябва да се считат за част от родната лексика, защото я обогатяват. В случая обаче само в отговор В са дадени две български думи-синоними.  В отговори А и Б са съпоставени чужда дума и съответната й българска. Такава двойка думи зрелостникът трябва да приеме като синонимна. Пример за несинонимна двойка е само отговор Г, където обаче се мъдрят две чужди думи!
Да ми прощават съставителите на теста, но не мога да не ги попитам: измежду хилядите български синонимни двойки думи и милиардите възможни комбинации несинонимни двойки само една ли харесахте (неприятел-враг), та останалите три двойки са от чужди думи?
Вторият принцип при съставяне на конспект за матура е съгласуването с всички други изучавани дисциплини (защото природата е единна – не се дели на учебни предмети). На всеки е известно какъв проблем е усвояването на логическото мислене в математиката и природонаучните предмети. Цитираният въпрос 12 е илюстрация за безхаберието на българистите по този въпрос:
Във верния отговор Г е записана двойка антоними „анализ-синтез”. Това е груба методическа грешка! Защото по законите на логиката отрицанието на „синоними” не е „антоними” а несиноними (отрицанието на „стомана” не е „памук” , а нестомана, т.е. всичко, което не е стомана; „камък” например също е отрицание на „стомана”). Затова в отговор Г е достатъчно (и методически правилно) да се поставят две произволни думи, които не са синоними, ако щете „тиква-круша”, само не антоними.
Същият методически дефект се повтаря и във въпрос 14:
14. В кой ред фразеологичните словосъчетания НЕ са антоними?
А) врял и кипял – има жълто около устата
Б) на куково лято – през крив макарон
В) развързвам си езика – слагам си катинар на устата
Г) имам широки пръсти – цепя стотинката.
Верен отговор в случая би била всяка двойка фразеологизми (идиоми), които не са антоними (не са с противоположен смисъл). Авторите на теста обаче във верния отговор Б са поставили синонимна двойка , т.е. двойка идиоми с еднакъв смисъл: „на куково лято – през крив макарон”. Поне у мен възниква подозрение, че според логиката на българистите отрицанието на „огън” е „вода”, на „лято” - „зима”, на „гений” - „тиквеник”.
Третият принцип при съставяне на конспект за матура би трябвало да е: матурата проверява знанията и само знанията, придобити в училището. Иначе казано, в конспекта не може да се включват мъдрости, почерпени „от живота”, т.е. кой знае откъде. В изпитите по природните науки „житейски” познания по правило не се включват. В хуманитарните изпити обаче е обичайна картина те тихомълком (по закона на Мърфи) да се издигат до ранг задължителни. Триумф на този възлюбен у нас закон е същият въпрос 14.
Понеже верният отговор е Б, моят въпрос към съставителите на теста е: в кое от десетките задължително изучавани творби на български автори се срещат словосъчетанията „на куково лято” и „през крив макарон”, за да искаме от зрелостника да знае значението им?
Четвъртият изходен принцип, за който се сещам, е че системата от училищни знания трябва да се изгражда спираловидно, което ще рече, че за матурата не може да се разчита на изучаваното в прогимназията. В математиката и природонаучните дисциплини този принцип се съблюдава особено стриктно – на всяко следващо ниво на спиралата се приповтарят и затвърдяват знанията от по-ниското ниво. В обучението по роден език е обратното – след 8 клас предвидените 30 часа годишно са посветени на езиково-стилни въпроси, но не и на граматиката. Така се получава „опущението” зрелостниците да полагат изпит върху материал, изучаван преди 5-6 години (когато са били убедени, че „подлогата” е женски род на „подлог”) Какво чудно има тогава, че всички гимназисти търчат по частни уроци? И че тези уроци се водят по всевъзможни извънучилищни учебни помагала.
Няма как дори в най-краткия анализ да прескоча най-очевидната издънка на теста по БЕЛ – въпрос 8:
8. В кое от изреченията НЕ е допусната граматична грешка?
А) Задължително е изискването да се владее български и английски език.
Б) Още беше дете, когато привикна да използва и българската, и латинската азбука.
В) Харесвам жълтия, оранжевия и червения цветове.
Г) Той не искаше да навреди на него си.
Правилният отговор според съставителите е Б. По мое скромно мнение нито едно от четирите изречения не е стилно. Най-точно е да се каже, че това са типично „школски”, т.е. изкуствено съчинени, „измъчени” изречения, с каквито са пълни учебниците по граматика.
Дефектът в изречение А) е тавтологичното съчетание „задължително изискване”. Едно изискване не може да не е задължително – то затова е изискване, защото е задължително, а не пожелателно.
В „правилното” изречение Б) ме подразни разговорното съчетание „Още беше дете”. Стилното е „Беше още дете” или по-добре „Още в детска възраст”.
Колкото до изречение Г), дори и правилно записано (Той не искаше да навреди на себе си.), то пак си е школски идиотизъм. Поне аз не мога да си представя човек, който специално да иска да навреди на себе си. Съчинителите на този въпрос обаче явно не са мислили за стила, а само за граматиката на изреченията.
Нека и ние се вторачим само в граматиката. Понеже в тестов въпрос може да има само един верен отговор, то в изреченията А, В и Г трябва да е допусната граматична грешка. Изреченията А и В обаче не могат да са едновременно грешни! Защото, ако изречение В) е грешно (т.е. ако правилното е „Харесвам жълтия, оранжевия и червения цвят.”), то по същия граматичен закон изречение А) е правилно. И обратно – ако изречение А е грешно, то изречение В трябва да е правилно. Както и да го въртим, верните отговори стават два: А и Б. Ха да видим сега как ще се оправят проверителите на писмените работи!
      Ще завърша с едно мое чисто субективно усещане докато препрочитах 8-ми и 12-ти въпрос: покрай граматическите еквилибристики се прокрадва внушението, че не би било зле още от яслите да се приучиш да използваш латинската азбука наред с българската, за да можеш в най-ранна детска възраст да пердашиш английски по-добре от българския.
Каквото експерту в главата, такова му и в теста!