Ред на Тейлор

Ред на Tейлор за функции на една променлива

където R_n, е остатъка след n члена, се дава чрез една от формулите
Форма на Лагранж R_n = f⁽ⁿ⁾(x - a)ⁿ/n!
Форма на Коши R_n =

Променливата ξ, която може да бъде различна в двете форми, е между a и x. Резултат има само ако f(x) има непрекъсната рпоизводни от ред n поне.

Ако lim_{n → ∞} R_n = 0, безкрайните редове, които се получават се наричат Ред на Тейлър за f(x) при x = a. Ако a = 0 редовете са най-често наричани Ред на Маклорен. Тези редове, често се наричат степенни редове, е главно клонят за всички стойности на x в някои интервал наречен интервал на клонене с нямат граница за всички x извън този интервал.

Биномни Редове

Специланите случаи са
(a + x)² = a² + 2ax + x²
(a + x)³ = a³ + 3a²x + 3ax² + x³
(a + x)⁴ = a⁴ + 4a³x + 6a²x² + 4ax³ + x⁴
(1 + x)^{- 1} = 1 - x + x² - x³ + x⁴ - ...        - 1 < x < 1
(1 + x)^{- 2} = 1 - 2x + 3x² - 4x³ + 5x⁴ - ....        - 1 < x < 1
(1 + x)^{- 3} = 1 - 3x + 6x² - 10x³ + 15x⁴ - ....        - 1 < x < 1

Редове с експоненциални и логаритмични функции

- ∞ < x < ∞
- ∞ < x <∞

Редове с тригонометрични функции

Редове с хиперболични функции

Смесени редове

Възвръщане на степенни редове

Ако
y = c₁x + c₂x² + c₃x³ + c₄x⁴ + c₅x⁵ + ....
то
x = C₁y + C₂y² + C₃y³ + C₄y⁴ + C₅y⁵ + ....
където
c₁C₂ = - c₂;
c₁⁵C₃ = 2c₂² - c₁c₃;
c₁⁷C₄ = 5c₁c₂c₃ - 5c₂³ - c₁²c₄;
c₁⁹C₅ = 6c₁²c₂c₄ + 3c₁²c₃² - c₁³c₃ + 14c₂⁴ - 21c₁c₂²c₁;
c₁¹¹C₆ = 7c₁³c₂c₅ + 84c₁c₂³c₃ + 7c₁³c₃c₄ - 28c₁²c₂c₃² - c₁⁴c₆ - 28c₁²c₂²c₄ - 42c₂⁵

Редове на Тейлър за функции на две променливи

f(x, y) = f(a, b) + (x - a).f_x(a, b) + (y - b).f_y(a, b) + (1/2!).{(x - a)².f_xx(a, b) + 2(x - a)(y - b).f_xy(a, b) + (y - b)².f_yy(a, b)} + ....
където f_x(a, b), f_y(a, b) .... са частните производни по x, y, .... оценени от x - a, y - b.

изпрати на приятел
Редактирай страницата
Направи нова страница
Изпратете материали(програми), свързани с математиката на: