2.5 Упражнения

Нека да сме благодарни на проф. Михаил Константинов за разрешението да четем "Елементи на линейната алгебра: вектори и матрици" online.

Упражнение 2.1 Ще казваме, че в множеството V е определена алгебрична операция *, ако на всеки два елемента а, b V е съпоставен елемент с = а*b V. Операцията * може да се нарече сумиране и тогава с се нарича сума на а и b и се означава като с = а + b. Ако операцията * се нарече умножение, то с се нарича произведение на а и b и се означава като с = а х b, или с = а • b, или с = аb (използват се и други означения). Операцията * е комутативна, ако
           а * b = b * а
и асоциативна, ако
(а * b) * с = а * (b * с)
за всички а, b, с V. По-нататък ще предполагаме, че сумирането винаги е комутативно.
Елементът е V се нарича неутрален относно сумирането (или нулев елемент, или нула), ако за всяко а V имаме
а + е = а.
Нулевият елемент в множеството V се означава и като О_V.
Елементът i V се нарича десен неутрален относно умножението (или десен единичен елемент, или дясна единица), ако
аi = а
за всяко а V. Аналогично се дефинира лявата единица.

Множеството V с една асоциативна операция * се нарича полугрупа. Полугрупата V се нарича група, ако съществува дясна единица i и всеки елемент а V има десен обратен елемент а^-1, такъв че аa^-1 = i. Групата V е комутативна, или абелева (Н. Абел, норвежки математик, 1802-1829), ако груповата операция * е комутативна.

Покажете, че:
- ако V е група, то съществува лява единица, съвпадаща с дясната единица i, а за всеки елемент а V съществува ляв обратен елемент a^(-1) (a^(-1)a = i), съвпадащ с десния обратен елемент a^-1;
- множеството Fⁿ с въведената в него операция на поелементно сумиране е абелева група;
- множеството Nⁿ (т.е., множеството на n-векторите с целочислени елементи) също е абелева група относно поелементното сумиране.

Упражнение 2.2 Нека в множеството F² е дефинирана операцията plus по формулата

Изследвайте комутативността и асоциативността на тази операция и определете неутралните относно нея елементи. Има ли операцията plus ляв неутрален елемент? Направете същото за операцията, която на стълбовете а = [а₁,а₂]^T, b = [b₁,b₂]^T, взети в указания ред, съпоставя стълба [а₁ + b₁,а₂]^T.

Упражнение 2.3 Нека в множеството К с нулев елемент θ са въведени две операции сумиране (+) и умножение (•). Ще казваме, че те се подчиняват на дистрибутивното правило, ако за всеки три елемента λ, μ, ν от К са в сила равенствата
(λ + μ) • ν = λ • ν + μ • ν,
ν • (λ + μ) = ν • λ + ν • μ.
Множеството К с горните две операции се нарича поле ако тези операции са асоциативни, комутативни, свързани са с дистрибутивното правило и всеки ненулев елемент А K има обратен А^-1 К (т.е., К\{θ} е абелева група по умножение).
Покажете, че множествата Q, R, С са полета. Покажете същото за множеството на всички числа от вида λ + μ√2, където λ, μ Q.

Упражнение 2.4 Нека К съдържа само два елемента 0 и 1. Да определим операциите сумиране и умножение от
0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 0; 0 • 0 = 0, 0 • 1 = 0, 1 • 1 = 1.
Покажете, че К е поле. Може ли да построите поле с три различни елемента? А с n елемента?

Упражнение 2.5 Нека К е поле с нула θ. Покажете, че при λ ≠ θ уравнението λ • ξ = μ има единствено решение ξ = μ • λ^-1.
Ако за всяко ненулево λ означим μ/λ = μ • λ^-1, докажете, че са в сила зависимостите
α/β + γ/δ = [α • δ + γ • β]/β • δ
и
(α/β) • (γ/δ) = (α • γ)/(β • δ)

Упражнение 2.6 Нека К е поле. Да въведем в Кⁿ (множеството на всички n-вектори а = [a_i] с компоненти a К) събиране и умножение по формулите
а + b = [a_i + b_i], а • b = [а_i • b_i].
Поле ли е Кⁿ? Намерете нулата и единицата в Кⁿ.

Упражнение 2.7 Нека V е множество и К е някое от числовите множества Q, R или С. Елементите на V ще означаваме с малки латински букви а, b,..., с, а елементите на К - с малки гръцки букви λ, μ,..., ν. В представените по-нататък формули се предполага, че съответните релации са в сила за всеки набор от вектори и числа.
Двойката (V, К) се нарича линейно пространство (или линеал) над К, ако:
А) Определена е операцията сумиране (+) на два вектора, която на а, b V съпоставя сумата а + b V (казваме също, че множеството V е затворено относно сумирането). При това:
А1. Сумирането е комутативно,
а + b = b + а.
А2. Сумирането е асоциативно,
а + (b + с) = (а + b) + с.
АЗ. Съществува неутрален елемент О_V V относно сумирането (наричан нулев вектор), такъв че
а + О_V = а.
А4. За всеки вектор а съществува противоположен вектор -а, такъв че
а + (-а) = О_V.
Б) Определена е операцията умножение (•) на вектор с число, която на a V и λ K съпоставя произведението
λ • а = а • λ V
(казваме също, че множеството V е затворено относно умножаването с число). При това:
Б1) умножението е асоциативно,
λ • (μ • а) = (λμ) • а.
Б2) Изпълнено е
1_K • а = а,
където 1_K е единицата в К.
В) Операциите сумиране на два вектора и умножаване на вектор с число удовлетворяват дистрибутивните правила:
B1) λ • (а + b) = λ • а + λ • b.
B2) (λ + μ) • а = λ • а + μ • а.
Покажете, че О_K • а = О_V, където О_K е нулата в К.
Постройте множества в R² и R³, които са затворени относно умножаването с реално число (такива множества се наричат конуси), но не и относно сумирането на два вектора.

Упражнение 2.8 Постройте множества в R² и R³, които са затворени относно сумирането, но не и относно умножаването с число.

Упражнение 2.9 Постройте множества в R² и R³, които са затворени относно сумирането и изваждането (т.е., а + b и а - b принадлежат на съответното множество заедно с a,b), но не и относно умножаването с число.

Упражнение 2.10 Постройте операции от типа (+) и (•) за вектори от R², за които са в сила всички условия А) - В) с изключение: само на В1); само на В2). Направете същото (изключване на по едно условие) за групите от условия А и Б.

Упражнение 2.11 Двойката (К,К) (вж. упражнение 2.7) е линейно пространство, ако приемем, че сумирането на два век-тора (в случая числа) е сумирането в К, а умножението на вектор с число е умножението в К.
Линейни пространства ли са двойките (V, К), ако:
- К = {λ} и V = {а} са едноелементни множества, като λ + λ = λ, λ • λ = λ и а + а = а, λ • а = а;
- V = С и К = R или К = Q;
- V = R и К = С;
- V = R и K = Q;
- V = Q и K = R или К = С?

Упражнение 2.12 Линейното пространство V над К е крайномерно, ако съществува крайна система от вектори а, b,..., с,
такива че всеки вектор х V може да се представи като
х = λ • a + μ • b + ...... + ν • c.
В противен случай пространството е безкрайномерно.
Крайномерно ли е пространството (С, R)? Покажете, че линейното пространство (R, Q) (вж. упражнение 2.11) е безkрайномерно.

Упражнение 2.13 Докажете, че условието (2.2) за линейност на f е еквивалентно на условията
f(λа) = λf(а), f(а + b) = f(а) + f(b)
за всички вектори а, b и скалари λ. Покажете, че всяко от последните две условия е съществено, като построите нелинейна функция f, която притежава само първото свойство f(λа) = λf(а), наречено хомогенност, и нелинейна функция f, която притежава само второто свойство f(а + b) = f(а) + f(b), наречено адитивност.

Упражнение 2.14 Докажете неравенството на Коши-Шварц (2.6) в комплексния случай.

Упражнение 2.15 Докажете равенството на Лагранж (френски математик, 1736-1813)
||а||²||b||² - <а,b>² =       a,b Rⁿ,
откъдето впрочем следва и неравенството на Коши-Шварц (2.6) за реални вектори.

Упражнение 2.16 Докажете, че
||а + b||_р ≤ ||а||_р + ||b||_р; а,b Fⁿ
и
|||а||_р - ||b||_р| ≤ ||а - b||_р; а,b Fⁿ.

Упражнение 2.17 Нека са дадени положителните числа c₁,..., c_n. Определете кога всеки от следните три израза определя норма в Fⁿ:

Упражнение 2.18 Нека са дадени нормите ||•||_р, ||•||_q в Fⁿ. Покажете, че функцията ||•|| : Fⁿ → R₊, определена от
||x|| := max{||x||_p,||x||_q},
cъщо е норма в Fⁿ.

Упражнение 2.19 Нека са дадени нормите ||•||_p1,..., ||•||_pm в Fⁿ нека ||•||_q е норма в F^m. Покажете, че функцията ||•|| : Fⁿ → R₊, определена от
||x|| := ||[||x||_p1,..., ||x||_pm]||_q,
е норма в Fⁿ.

Упражнение 2.20 Нека х Fⁿ. Покажете, че ||x||₂ ≤ ||x||₁ ≤ √n||x||₂,
||x||_∞ ≤ ||x||₂ ≤ √n||x||₂,

Изпратете материали(програми), свързани с математика на: