2.3 Скаларно произведение. Норма

Нека да сме благодарни на проф. Михаил Константинов за разрешението да четем "Елементи на линейната алгебра: вектори и матрици" online.

Нека а, b Rⁿ. Тогава числото
<а, b> := а₁b₁ + а₂b₂ + ..... а_nb_n R           (2.3)
се нарича скаларно (или вътрешно) произведение на векторите а и b. Скаларното произведение (2.3) в Rⁿ е комутативно, т.е., = <а,b>.

Това произведение е линейно по всеки от аргументите си, например
<а,λb + μс> = λ<а,b> + μ,
където a, b, c Rⁿ и λ, μ R. Такава функция на два аргумента, която е линейна по всеки от тях, се нарича билинейна. В общия случай функция на повече аргументи, която е линейна по всеки от тях, се нарича полилинейна.

Пространството Rⁿ, в което е определено скаларното произведение (2.3), се нарича n-мерно реално евклидово пространство (Евклид, древногръцки математик, IV в. пр. н.е.).

За комплексните вектори а, b Cⁿ също може да се дефинира скаларно произведение

То в общия случай не е комутативно, а удовлетворява условието

(докажете!).

Пространството Cⁿ, в което е определено скаларното произведение (2.4), се нарича n-мерно ермитово пространство.

От курса по елементарна геометрия е известно понятиято дължина на вектор в равнината или пространството. Това понятие може да се обобщи както за вектори a Rⁿ по-висока размерност n > 3, така и за комплексни вектори a Cⁿ.

Евклидова дължина (или норма) на вектора а Fⁿ ще наричаме числото
||а|| := √|a₁|² + |a₂|² + ...... + |a_n|² = √<а,а>.

Ако векторът а е реален имаме
||а|| = √a₁² + a₂² + ...... + a_n².

Последното равенство е един от многомерните варианти на Питагоровата теорема (Питагор, древногръцки математик, VI в. пр. н.е.).

В R² и R³ нормата ||а|| е обичайната дължина на вектора а в евклидовата геометрия.

Очевидно за всеки вектор а имаме ||а|| ≥ 0 като ||а|| = 0 точно когато а = 0. Освен това
||λа|| = |λ|.||а||
за всички λ F и а Fⁿ.

В Fⁿ се използват и други норми, например
||а||₁ := |а₁| + |а₂| + .... + |а_n|
и
||а||_∞ := max{|а_i| : i = 1, 2,..., n}.
По-общо, може да се въведе нормата
||а||_р := (|а₁|^p + |а₂|^p + ..... + |а_n|^p)^1/p,           (2.5)
където р ≥ 1. При тези означения евклидовата векторна норма || • || отговаря на р = 2. Нормата (2.5) е известна още като хъолдерова р-норма.

Понятието норма на вектор (или векторна норма) може да се въведе и аксиоматично по следния начин.
Функцията || • || : Fⁿ -> R се нарича норма в Fⁿ, ако за всички a, b Fⁿ и λ F са изпълнени условията
1. Ако ||а|| = 0, то а = 0_n.
2. ||λа|| = |λ|.||а||.
3. ||а + b|| ≤ ||а|| + ||b||.
При това може да се покаже, че ||а|| ≥ 0, като ||а|| = 0 точно когато а = 0_n. Действително, от 2 следва
||0_n|| = ||0а|| =0||а|| =0.
На свой ред за b = -a от 3 и 2 получаваме
||а + b|| = ||0_n|| = 0 ≤ ||а|| + || - а|| = 2||а||
и ||а|| ge; 0.

Скаларното произведение (2.3) или (2.4) на два вектора е свързано с техните норми посредством знаменитото неравенство на Коши-Шварц (О. Коши, френски математик, 1789-1857; К. Шварц, немски математик, 1843-1921):
|| ≤ ||а||.||b||.          (2.6)
За да докажем (2.6) в реалния случай, нека a ≠ 0 (при а = 0 неравенството се свежда до 0 ≤ 0 и е тривиално изпълнено) и λ R произволно число. Като използваме свойствата билинейност и комутативност на скаларното произведение получаваме
0 ≤ ||λа + b||² = <λа + b,λа + b>²
= <λа,λа> + <λа,b> + + = ||а||²λ² + 2<а,b>λ + ||b||² =: h(λ).
Полученото неравенство Н(λ) ≥ 0 за квадратния тричлен h е изпълнено за всяка стойност на реалния параметър λ точно когато дискриминантата на h е неположителна, т.е., <а,b>² - ||а||²||b||² ≤ 0,
което е равносилно на неравенството (2.6).

Съществува и доказателство „ в един ред":
0 ≤ ||[(.a)/||a|| - ||а||b]||² =||а||²||b||² - <а,b>².

В елементарната геометрия ъгълът γ = (а,b) между два ненулеви вектора а = СВ и b = СА, които са страни в триъгълника АВС, се определя с помощта на косинусовата теорема:
|АВ|² = |CВ|² + |CА|² - 2|CВ||CА|соsγ.
Тъй като |АВ| = ||b - а||, получаваме
cosγ = [||a||² + ||b||² + ||b - a||²]/2||a||.||b|| = /||a||.||b||            (2.7)
предвид на неравенството на Коши-Шварц (2.6) имаме
-1 ≤ /||a||.||b|| ≤ 1; a≠ 0, b≠ 0.
Така равенството (2.7) може да се използува като дефиниция за ъгъл γ = (a,b) между два ненулеви вектора а,b Rⁿ при произволно n N:
cosγ := /||a||.||b||; a,b Rⁿ.
За определеност се приема, че за ъгъла γ, чиито косинус е даден от горния израз, е в сила 0 ≤ γ ≤ π.

За да включим в обхвата на тази дефиниция и случая на нулеви вектори, полагаме (а,b) = π/2 когато а = 0 и/или b = 0.

Векторите а и b се наричат ортогонални когато <а, b> = 0, т.е., когато (а,b) = π/2. Така нулевият вектор е ортогонален на всички останали вектори.
Ако векторите a и b са ортогонални, то
||а - b||² = ||а||² + ||b||² - 2<а,b> = ||а||² + ||b||²,
което също е многомерен вариант на Питагоровата теорема.

Аналогично се дефинира отношението ортогоналност и в Сⁿ с помощта на скаларното произведение (2.4): два вектора а, b Сⁿ са ортогонални когато <а,b> = 0. Естествено, при комплексни вектори отсъства пряката аналогия с модели от класическата геометрия.

Изпратете материали(програми), свързани с математика на: