2.2 Операции с вектори

Нека да сме благодарни на проф. Михаил Константинов за разрешението да четем "Елементи на линейната алгебра: вектори и матрици" online.

Ако а = [а_i] е n-мерен вектор-стълб от вида (2.1), то транспонираният вектор на вектора а е векторът-ред
        а^T = [а₁,а₂, ... ,а_n].
Aналогично, ермитово спрегнатият вектор на вектора а е векторът-ред
       
, kъдето λ с черта е комплексно спрегнатото число на числото λ. Очевидно, ако векторът а е реален, операциите транспониране и спрягане съвпадат.

Операциите транспониране и ермитово спрягане са инволюции, т.е., двукратното им прилагане не променя обекта:
      (а^Т)^Т = а, (а^н)^н = а.
Ако а = [a_i] е вектор и λ е число, то произведение на a и λ ще наричаме вектора λа = аλ = [λа_i]. Следователно вектор се умножава с число като всичките му елементи се умножат с числото.

Пример 2.2 Ако а е реален вектор в равнината или пространството и 0 ≠ λ R, то векторът λа има направлението на а (същата посока при λ > 0 и противоположна посока при λ < 0) и е по-дълъг, по-къс или еднакъв по дължина с а съответно при |λ| > 1, |λ| < 1 или |λ| = 1. Нека например

Tогава

като дължината на а е √5, а тази на За е З√5.

Нека а = [а_i] и b = [b_i] са два вектора с еднакви размери. Тогава сума на векторите а та b ще наричаме вектора
а + b = [а_i + b_i].
Така при сумиране на два вектора се сумират съответните им елементи. По индукция се дефинира сума повече от два вектора а, b,..., с, а именно
а + b + .... + с=[а_i + b_i + .... + c_i].

Операцията умножаване на вектор с число, при което полученият резултат е отново вектор от същия вид, е пример за т.нар. линейна операция.

По-общо, нека за всеки вектор a Fⁿ по някакво правило f е определен векторът f(а) F^m . Ще казваме, че операцията (или функцията) f, съпоставяща на всеки вектор а вектора f(а), е линейна, ако за всеки два вектора a, b Fⁿ и за всеки две числа λ, μ F е изпълнено
(2.2)          f(λа + μb) = λf(а)+ μf(b).

Изпратете материали(програми), свързани с математика на: